XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Фрактал

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

1) Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.

2) Является самоподобным или приближённо самоподобным.

3) Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую размерность.

Фрактальное искусство

Фрактальное искусство — это алгоритмическая форма искусства, созданная путем вычисления фрактальных объектов и отображения результатов в виде неподвижных изображений, анимации и мультимедиа. Его математическая красота лежит на пересечении компьютерного искусства и генеративного искусства, создавая форму абстрактного искусства. Фрактальное искусство редко рисуется вручную, оно создается с помощью программного обеспечения для генерации фракталов. Этот процесс состоит из трех шагов:

1) Настройка правильного ПО для работы с фракталами

2) выполнять утомительные вычисления;

3) Оценка окончательных результатов

Некоторые художники обрабатывают свои фрактальные работы в других графических программах для дальнейшей модификации полученного изображения. Фрактальное искусство зародилось в 1980-х годах и является бесконечно увлекательным жанром искусства. Как и сами числа, возможности для создания уникальных фрактальных изображений безграничны.

Характеристики дизайна фрактального искусства

Есть несколько общих черт, когда речь заходит о фрактальном искусстве. К ним относятся:

Самоподобие

Это математическая концепция, согласно которой объект будет похож на любую свою часть. В визуальном дизайне это означает, что увеличенная часть целого произведения будет похожа на целое (и наоборот).

Психоделия

Это художественное понятие относится к измененному сознанию и произведениям, которые направлены на воссоздание этого психического состояния. Они включают в себя искажения или сюрреалистические элементы.

Замысловатые узоры

Эта характеристика связана с ранее упомянутой самоподобием. Замысловатость проявляется в огромном количестве деталей и сложности фрактальных узоров.

Математическая красота

Это предпосылка, на которой основано все фрактальное искусство. Она относится к эстетическому наслаждению, которое человек получает от чистой, простой организации математики.

Узоры в природе

Фракталы встречаются во всей природе - от облаков до морских раковин, от гор до деревьев. Когда человек восхищается алгоритмическим искусством, он любуется миром природы в оцифрованном виде. Если вы хотите узнать все о фракталах в природе и природных узорах, ознакомьтесь с моим полным руководством.

Яркие цвета

Одна из самых поразительных особенностей фракталов - это цвет, в котором они отображаются. Будь то рукотворные, природные или оцифрованные, удивительные цвета являются отличительной чертой этого направления дизайна.

Исследование фракталов в искусстве и природе

Когда речь заходит об эстетике, кого лучше изучать, как не знаменитых художников?Очевидно, что именно они являются экспертами в области визуального восприятия. Исследовательская группа учёных применила этот подход к Джексону Поллоку, который поднялся на вершину современного искусства в конце 1940-х годов, выливая краску прямо из банки на холсты бумаги разложенные на полу его студии. Интересно то, что многие соглашаются с тем, что в них чувствуется органичность и естественность.

Оказалось, что многие природные объекты являются фрактальными, с узорами, повторяющимися при все более мелком увеличении. Например, возьмём дерево. Сначала вы видите большие ветви, растущие из ствола. Затем вы видите более мелкие ветви, растущие из каждой большой ветви. По мере увеличения масштаба появляются все более тонкие ветви, вплоть до самых маленьких веточек. Другие примеры природных фракталов - облака, растения, береговые линии и горы.

В 1999 году группа исследователей, используя компьютерные методы анализа узоров,

показала, что картины Поллока являются такими же фракталами, как и узоры,

встречающиеся в природных пейзажах. С тех пор более 10 различных групп провели различные формы фрактального анализа его картин. Способность Поллока выразить фрактальную эстетику природы помогает объяснить непреходящую популярность его работ.

Влияние эстетики природы удивительно сильно. В 1980-х годах архитекторы обнаружили, что пациенты быстрее восстанавливаются после операций, когда им предоставляют больничные палаты с окнами, выходящими на природу. Другие исследования, проведенные с тех пор, показали, что один лишь взгляд на фотографии природных пейзажей может изменить реакцию вегетативной нервной системы человека на стресс.

Появляется вопрос, таково влияние фракталов? В сотрудничестве с психологами и нейробиологами исследователи измерили реакцию людей на фракталы, встречающиеся в природе (используя фотографии природных пейзажей), искусстве (картины Поллока) и математике (компьютерные изображения), и обнаружили универсальный эффект, который они назвали "фрактальной беглостью".

Благодаря знакомству с фрактальными пейзажами природы, зрительные системы людей адаптировались к эффективной обработке фракталов с легкостью. Учёные обнаружили, что эта адаптация происходит на многих этапах зрительной системы, начиная с того, как двигаются наши глаза, и заканчивая тем, какие области мозга активизируются. Эта беглость вводит нас в зону комфорта, и поэтому мы получаем удовольствие от созерцания фракталов. Очень важно, что исследователи использовали ЭЭГ для регистрации электрической активности мозга и методы кожной проводимости, чтобы показать, что этот эстетический опыт сопровождается снижением стресса на 60% - удивительно большой эффект для немедикаментозного лечения. Эти физиологические изменения даже ускоряют темпы послеоперационного восстановления.

Художники интуитивно понимают

привлекательность фракталов

Неудивительно узнать, что художники, как специалисты по изобразительному искусству, на протяжении веков и во многих культурах вставляли фрактальные узоры в свои произведения. Фракталы можно найти, например, в работах японцев, египтян, ацтеков, римлян и майя.

Название: без названия

Творец: Вонг Фу

Стоит упомянуть в искусстве картины, связанные с фракталами - "Галатея из сфер " Сальвадора Дали (1952), "Звёздная ночь" Винсента ван Гога (1929), "Кортикальные колонки" Грега Данна (2014) и многие другие.

Название: Галатея из сфер

Творец: Сальвадор Дали

Год создания: 1952

Название: Кортикальные колонки

Творец: Грег Данн

Год создания: 2014

Хотя фрактальное повторение узоров широко распространено в искусстве, оно представляет собой художественную проблему. Например, многие люди пытались подделать фракталы Поллока и потерпели неудачу. Действительно, фрактальный анализ помог выявить поддельных Поллоков в громких делах. Недавние исследования, проведенные другими специалистами, показывают, что фрактальный анализ помогает отличить настоящего Поллока от подделки с 93% вероятностью успеха.

То, как художники создают свои фракталы, подпитывает дебаты о природе против воспитания в искусстве: В какой степени эстетика определяется автоматическими бессознательными механизмами, заложенными в биологии художника, в отличие от его интеллектуальных и культурных проблем? В случае Поллока его фрактальная эстетика стала результатом интригующей смеси того и другого. Его фрактальные узоры возникли из движений его тела (в частности, из автоматического процесса, связанного с равновесием, который, как известно, является фрактальным). Но он провел 10 лет, сознательно совершенствуя свою технику заливки, чтобы увеличить визуальную сложность этих фрактальных узоров.

Известно, что Поллок ненавидел мысль о том, что наблюдатели его работ будут отвлекаться на такие воображаемые формы. Это заставило его интуитивно увеличить сложность своих фракталов, чтобы предотвратить это явление.

Сложность фракталов

Стремление Поллока повысить сложность своих фракталов становится очевидным при изучении фрактальных свойств чернильных клякс Роршаха. Эти знаменитые абстрактные кляксы известны тем, что зрители видят в них воображаемые фигуры. Этот процесс можно объяснить с помощью теории фрактальной беглости. По сути, фракталы низкой сложности заставляют процесс фрактальной беглости срабатывать, обманывая зрителей, заставляя их видеть изображения, которых на самом деле нет.

Заключение

Фракталы - это бесконечное увлекательное явление. Независимо от того, наблюдаете ли вы их в природе или в искусстве, их способность влиять на настроение и успокаивать разум огромна.

Список источников

1)Taylor, R., Micolich, A. & Jonas, D. Fractal analysis of Pollock’s drip paintings. Nature 399, 422 (1999). https://doi.org/10.1038/20833

2)Ulrich RS. View through a window may influence recovery from surgery. Science. 1984 Apr 27;224(4647):420-1. doi: https://doi.org/10.1126/science.6143402

3)Hagerhall, Caroline M., et al. Investigations of Human EEG Response to Viewing Fractal Patterns. Perception, vol. 37, no. 10, Oct. 2008, pp. 1488–1494, doi: https://doi.org/10.1068/p5918

4)NNART, LLC 2022:https://nnart.org/fractals-in-art-a-deep-dive

5)Wikipedia:https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB

Код для цитирования: Скопировать