XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Матрицу А^-1 называют обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица:

Из формулы выше мы можем увидеть, что обратная матрица является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица А.

Следует подметить, что понятие обратной матрицы тождественно понятию обратного числа (это число, которое при умножении на данное число дает единицу:

Все числа, кроме нуля, имеют обратные числа.

Чтобы сделать выводы, имеет ли квадратная матрица обратную, нам предстоит найти ее определитель. При условии, что определитель матрицы равен нулю, то такая матрица называется вырожденной, или особенной.

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы: обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Докажем необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу , т.е. . Тогда . Следовательно, .

Докажем достаточность. Чтобы доказать его, стоит всего лишь описать способ вычисления обратной матрицы, который мы всегда сможем применить для невырожденной матрицы.

Предположим, пусть . Транспонируем матрицу А. Для каждого элемента  найдем алгебраическое дополнение и составим из них матрицу , которую называют присоединенной (взаимной, союзной):

Найдем произведение присоединенной матрицы и исходной . Получим.

Таким образом матрица В – диагональная. На ее главной диагонали стоят определители исходной матрицы, а все остальные элементы – нули:

Аналогично можно показать, что 

При разделении всех элементов матрицы на , мы получим единичную матрицу Е.

Таким образом

Докажем единственность обратной матрицы. Допустим, что есть иная обратная матрица для А, отличная от А^-1. Обозначим ее X. Тогда . Умножим слева обе части равенства на А^-1.

Единственность доказана.

Итак, алгоритм вычисления обратной матрицы состоит из следующих шагов:

1. Найти определитель матрицы |А| . Если , то матрица А - вырожденная, и обратную матрицу найти нельзя. Если , то переходят к следующему шагу.

2. Построить транспонированную матрицу .

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и построить присоединенную матрицу  .

4. Вычислить обратную матрицу, разделив присоединенную матрицу на .

5. Можно проверить правильность вычисления обратной матрицы в соответствии с определением:

Пример: Найти матрицу, обратную к данной

Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольников:

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

-

Находим матрицу , транспонированную к А:

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу .

минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца

Алгебраическое дополнение:

Вычисляем обратную матрицу

Код для цитирования: Скопировать