XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Введение

Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые либо непрерывны, либо имеют «не слишком много» точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны везде, где они определены (или вообще могут быть определены на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), риманова конструкция интеграла становится непригодной.

В то же время для таких функций существует очень гибкое понятие интеграла, введенное Лебегом.

Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что здесь, в отличие от интеграла Римана, точки группируются не по признаку их близости на оси абсцисс, а по признаку близости значений функции в этих точках. Это сразу позволяет распространить понятие интеграла на очень широкий класс функций.

Более того, интеграл Лебега точно так же определяется для функций, определенных на любых пространствах с мерой, а интеграл Римана вводится сначала для функции одной переменной, а затем с соответствующими изменениями переносится на случай нескольких переменных.

Для функций на абстрактных пространствах с мерой интеграл Римана вообще не имеет смысла.

Простые функции.

Функция f(x), определенная на некотором пространстве Х с

заданной на нем мерой, называется простой, если она измерима и принимает не более, чем счетное число значений.

Структура простых функций характеризуется следующей теоремой.

Теорема . Функция f(x), принимающая не более чем счетное число различных значений y₁, y₂, … , y_n, … ,

измерима в том и только том случае, если все множества

измеримы.

Доказательство. Необходимость условия ясна, так как каждое A_n есть прообраз одноточечного множества {y_n}, а всякое одноточечное множество является борелевским. Достаточность следует из того, что в условиях теоремы прообраз f^-1(B) любого борелевского множества есть объединение не более чем счетного числа измеримых множеств A_n, т. е. измерим.

Для дальнейшего нам необходимо ввести простые функции.

Пусть

а — это характеристическая функция множества

Заметим теперь, что всякую функцию

можно представить в следующем виде:

где

Очевидно, что измеримость функции f(x) эквивалентна измеримости каждой из функций f+(x) и f−(x).

Определение интеграла Лебега.

Теперь мы в состоянии дать определение интеграла Лебега. Введем понятие  интеграла Лебега сначала для  функций, названных выше простыми, т. е. для измеримых функций, принимающих  конечное или счетное число значений. Сначала определим интеграл Лебега от простой функции следующим образом:

Теперь предположим, что измеримая функция f(x) является неотрицательной. Тогда определим интеграл Лебега от этой функции следующим образом:

Здесь мы ввели новое понятие «µ-п. вс.», которое означает, что множество, на котором не выполняется некоторое свойство имеет нулевую меру. Теперь осталось распространить интеграл Лебега на случай произвольных измеримых функций. Делается это следующим образом:

Несложно доказать, что множество интегрируемых по Лебегу функций образует линейное пространство L(X, µ). Нулем этого линейного пространства является функция, тождественно равная нулю на множестве X.

Свойства интеграла Лебега.

Установим ряд свойств интеграла от ограниченной измеримой функции.

Теорема 1. Если измеримая функция f(x) на измеримом множестве Е удовлетворяет неравенствам a £ f(x) £ b, то a× mE £ £ b× mE.

Это теорема обычно называется теоремой о среднем.

Доказательство. Пусть n натуральное число. Если мы положим

A = a - , B = b + , то окажется, что A < f(x) < B,

и суммы Лебега можно будет составлять, дробя сегмент [А, В].

Но если A £ y_k £ B, то, очевидно, A £ £ B или, что то же самое,

A× mE £ s £ B× mE, откудаивпределеmE £ £ mE.

В силу произвольности числа n, теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.

Следствие 1. Если функция f(x) постоянна на измеримом множестве

Е и f(x) = с, то = c× mE.

Следствие 2. Если функция f(x) не отрицательна (не положительна), то таков же и ее интеграл.

Следствие 3. Если Е = 0, то для любой ограниченной функции f(x), заданной на множестве Е, будет = 0.

Сравнение интегралов Римана и Лебега.

Для простоты рассмотрим эту связь в одномерном случае.

Теорема 1. Если для функции, заданной на [a,b], существует собственный интеграл Римана  , то она интегрируема и по Лебегу и её интеграл Лебега   равен интегралу Римана.

Теорема 2. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция, была интегрируема по Риману на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы множестве её точек разрыва имело меру нуль.

Из этой теоремы, в частности, следует теорема об интегрируемости по Риману монотонной функции (так как множество точек разрыва монотонной функции не более чем счётно).

Пусть функция fнеограничена на полуинтервале [a,b] и интегрируема по Риману на любом промежутке [a,b-]. В этом случае речь идёт о несобственном интеграле Римана

,

если предел существует и конечен. Несобственный интеграл Римана называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл  .

Теорема 3. Для абсолютной сходимости несобственного интеграла     необходимо и достаточно, чтобы f была интегрируемой по Лебегу на [a,b]. При выполнении любого из этих условий имеет место равенство   .

Рассмотрим интегрирование по множеству бесконечной меры. Пусть функция определена на промежутке [a,+] и интегрируема по Риману на любом отрезке [a,b]. Тогда несобственный интеграл Римана по промежутку [a,+] определяется как предел

.

Если предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся; его называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл   .

Теорема 4. 

Для абсолютной сходимости несобственного интеграла Римана необходимо и достаточно, чтобы функция f была интегрируема по Лебегу на [a,+]. При выполнении любого из этих условий имеет место равенство  .

Примеры интегрирования по Лебегу

1) Найти интеграл

Функция непрерывна на отрезке [0, 2], поэтому

Аналогично поступаем с любой непрерывной на данном отрезке [a, b] функцией .

2) Найти интеграл

Функция sign x интегрируема по Риману. Поэтому

3) Пусть

Эта функция непрерывна в иррациональных точках и разрывна в рациональных точках. Но множество рациональных точек счетно, а поэтому

для любого отрезка [a, b].

Следовательно, ограниченная функция R(x) почти всюду на отрезке [a, b] непрерывна, а поэтому существуют оба интеграла:

и .

На множестве нулевой меры подынтегральную функцию можно доопределить любым образом (от этого значение интеграла Лебега не меняется), поэтому положим

В результате получили непрерывную функцию f(x)=0 . Тогда, очевидно,

Список литературы

1) Колмогоров, Фомин «Элементы функционального анализа».

2) Натансон И.П. «Теория функций вещественной переменной».

3) Очан «Сборник задач по математическому анализу».

4)Водопьянов С. К. «Интегрирование по Лебегу: Учеб. Пособие».

Список используемых источников

http://szulik.ru/lib/integral_lebega.pdf

https://www.hse.ru/data/2015/02/24/1090761592/matan3mod-9.pdf

https://hmath.spbstu.ru/userfiles/files/documents/conference/2019/3.pdf

Код для цитирования: Скопировать