XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Математические основы Блокчейна-системы

На сегодняшний день блокчейн система используется в различных системах в основном это криптовалюта. Одна из причин использования это системы является строгая математика база с помощью, которой проходить добыча

Bitcoin` a.

Таким образом, система не нуждается в вмешательстве человека, а может функционировать при полном отсутствии доверия участников сетей. Математической основой блокчейна являются эллиптические кривые, ECDSA и ключи.

Основная часть Bitcoin является криптографическим алгоритмом, алгоритмом ECDSA , который использует эллиптические кривые и конечное поле подписи, чтобы подтверждать актуальность этого вычисления, а также исключать возможность его подделать. В системе ECDSA для подтверждения подлинности используются разные процедуры, состоящие из нескольких арифметических вычислений.

Эллиптические кривые

Данная кривая является кубической кривой и относится к алгебраическому замыканию поля К с третьей степенью коэффициентом из поля К, также относится к точке бесконечности.

Один из формул - кривая Вейерштрасса

y² = x³ + ax + b

коэффициент а=0 и b=7 (данный коэффициент используется в блокчейне Bitcoin` a):

Рисунок 1: Эллиптическая кривая

У данной кривой имеется несколько интересных свойств, например невертикальная линия, пересекающая две некасательные точки на кривой, а также пересечение третей точки на кривой. Сумма двух точек P + Q называется точка R, также она является отражение точки -R (построение путем продолжения прямой (P; Q) до пересечения с кривой) относительно оси X

Рисунок 2: Сумма двух точек на кривой

Если мы проведем прямую через две точки, имеющие координаты вида

Р (a, b) и Q (a, -b) то она будет параллельна оси ординат. Но в это случае не будет третьей точки пересечения, для решение этой проблемы, вводится так называемая точка на бесконечности (point of infinity) и обозначается как ось O. Поэтому если не формируется пересечение, то уравнение принимает форму P + Q = O.

Если мы будем складывать точку саму с собой, то в этом случае просто проведем касательную точку Q. Полученная точка пересечении отражается симметрично относительно оси X.

Рисунок 3:Удвоение точки

Данные операции позволяют провести скалярное умножение точек R =k*P, складывая точку Р саму с собой k раз.

Эллиптическая кривая над конечным полем

Криптография (ECC) используется также кривая, только рассматриваемая на конечном поле. В контексте (ECC) можно показать, как предопределенный набор положительных чисел, в котором оказывается каждый вычисленный результат.

y² = x³ + ax + b (mod p)

Посмотрим на примере, 9 mod 7 = 2. Здесь мы имеем полученную от 0 до 6, и все операции по модулю 7, какие бы числа не генерировались, будет попадать в этот диапазон.

Эллиптическая кривая Bitcoin`a, y² = x³ + 7, определенна по модулю 67 и отображается следующим образом

Такое количество точек обусловливается тем, что каждая точка имеет x и y представляют собой числа в диапазоне от 0 и 66. Прямые линии, нанесены на этом графике и теперь как бы оборачиваются вокруг поля, как только достигнут барьера 67.

Так же есть система ECDSA которая использует уравнение эллиптической кривой y² = x³ + 7, и построение по модулю:

2²⁵⁶— 2³² — 2⁹ — 2⁸ — 2⁷ — 2⁶ — 2⁴ — 1 = FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE FFFFFC2F.

Базовая точка:

04 79BE667EF9DCBBAC 55A06295 CE870B07 029BFCDB 2DCE28D9 59F2815B 16F81798 483ADA77 26A3C465 5DA4FBFC 0E1108A8 FD17B448 A6855419 9C47D08FFB10D4B8

Жирным шрифтом выделении координат X в шестнадцатеричной записи. А всё остальное это координаты Y

Все это порядок кривой известной как secp265k1 и является частью семейства SEC используется в криптографии. В Bitcoin`e обеднели кривую secp265k1 и цифровую подпись ECDSA.

ECDSA использовали как секретный ключ, который генерировался между единицей и значение порядка. Открытый ключ формируется на основание секретного, ключ формировался по данной формуле

Открытый ключ = секретный ключ * G, благодаря этом криптовалюта это децентрализованной системой независимой от банковской систем.

Для того чтобы проводить все эти операции нужно иметь достаточно мощное оборудование и в больших масштаба так как сложность вычислений выросла на 5% и за количества добытого Bitcoina.Учёные подчитали что на майнинг уходит 121,36 тераватт-часов (ТВт·ч) в год.Для сравнения, энергопотребление Нидерландов составляет 108 ТВт·ч в год.

Источники

https://sohabr.net/habr/post/339946/

https://trends.rbc.ru/trends/education/6163fa3f9a79472472bca0d3

Код для цитирования: Скопировать