XIV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2022

Всем известно, что в практической деятельности человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно рассматривать число всех возможных вариантов расположения некоторых предметов. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. Целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае. Современная жизнь делает задачи на комбинаторные вычисления актуальными, так как появление компьютеров резко увеличивает возможности комбинаторики и расширяет сферу ее применения. В связи с этим, мы решили найти ей применение при работе с учащимися в группах.

Комбинаторика зародилась ещё в древности. Так например, её можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). По мнению её авторов, вcё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. А классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь m элементов из N возможных» упоминается ещё в cутрах древней Индии (начиная примерно с IV века до н. э.). Индийские математики, видимо, первыми открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона. Во II веке до н. э. индийцы знали, что сумма всех биномиальных коэффициентов степени n равна. Античные греки также рассматривали отдельные комбинаторные задачи, хотя систематическое изложение ими этих вопросов, еcли оно и cущеcтвовало, до наc не дошло. Хрисипп (III век до н. э.) и Гиппарх (II век до н. э.) подсчитывали, сколько следствия можно получить из 10 аксиом; методика подсчета нам неизвестна, но у Хрисиппа получилось более миллиона, а у Гиппарха — более 100000. Аристотель при изложении своей логики безошибочно перечислил все возможные типы трёхчленных cиллогизмов. Аристоксен рассмотрел различные чередования длинных и коротких слогов в стихотворных размерах. Какие-то комбинаторные правила пифагорейцы, вероятно, использовали при построении своей теории чисел и нумерологии (совершенные числа, фигурные числа, пифагоровы тройки и др.). В XII веке индийский математик Бхаскара в своем основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями. В Западной Европе ряд глубоких открытий в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра (XII век) и Леви бен Гершом (он же Герсонид, XIV век). Ибн Эзра подсчитывал число размещений с перестановками в огла совках имени Бога и обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчета и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний. Несколько комбинаторных задач содержит «Книга абака» (Фибоначчи, XIII век). Например, он поставил задачу найти наименьшее число гирь, достаточное для взвешивания любого товара весом от 1 до 40 фунтов. Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Тарталья и Галилей. В иcторию зарождавшейcя теории вероятностей вошла перепиcка заядлого игрока шевалье де Мере с Пьером Ферма и Блезом Паскалем, где были затронуты несколько тонких комбинаторных вопросов. Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома. Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ, их вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века), Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника. Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики. Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666 году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве»/ Правда, термин «комбинаторика» Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику]. Ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике. В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание» (combination) впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован в 1665 году). Термин «перестановка» (permutation) употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Бернулли использовал и термин «размещение» (arrangement). Окончательно комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в трудах Эйлера.

Групповая работа очень важная часть школьной программы, так как это учит детей объединять свои силы и помогать друг другу. При решении комбинаторных задач - групповая работа это даже очень полезна. Первым делом мы делим учащихся на команды, даем им “выбор без выбора”. На столе лежат n-ое количество листов ( все зависит от кол-ва учащихся в классе). Каждый из них тянет листок на котором заранее подготовлены задачи. Решив задачу ученик определяется в команду. Всего команд - 4.

Далее ученики распределяют роли в группе. каждая роль может быть задействована один или более раз:

организатор – отвечает за работу группы в целом;

чтец – читает вслух;

секретарь – записывает от лица группы;

докладчик (спикер)– рассказывает, что решила группа;

хронометрист – следит за временем

контролёр – проверяет, все ли поняли принятое решение.

«Почемучка» - задает уточняющие вопросы.

Наблюдатель – следит за соблюдением правил групповой работы и вмешивается в случае их нарушения.

Первый этап. Ученики рассаживаются за столы. Проводится 5-7 минутная лекция о комбинаторики. Затем следует викторина на 5 вопросов за которую можно получить 5 баллов.

Что такое комбинаторика?

Комбинаторика отвечает на вопрос…

В каком веке до нашей эры в китайской книге “Книге перемен” было упоминание о комбинаторике?

Сколько существует вариантов выбора двух чисел из восьми ?

Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В называют …

За каждый правильный ответ учащиеся получают 0.2 балла. В общей сложности за этот этап учащиеся могут получить 1 балл.

Второй этап. На втором этапе учащиеся получают задания которые, они должны решить их в течении 10 минут. За каждую ВЕРНО решенную задачу команда получает 0.5 баллов.

Задача 1.В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать? Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, заместителем - любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28 студентов, т.е. n₁=30, n₂=29, n₃=28. По правилу умножения общее число N способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно N=n₁´n₂´n₃=30´29´28=24360.

Задача 2.Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу? Решение. Первое письмо имеет n₁=2 альтернативы – либо его относит к адресату первый почтальон, либо второй. Для второго письма также есть n₂=2 альтернативы и т.д., т.е. n₁=n₂=…=n₁₀=2. Следовательно, в силу правила умножения общее число способов распределений писем между двумя почтальонами равно.

Задача 3. В ящике 100 деталей, из них 30 – деталей 1-го сорта, 50 – 2-го, остальные – 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали первого или второго сорта? Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена n₁=30 способами, 2-го сорта – n₂=50 способами. По правилу суммы существует N=n₁+n₂=30+50=80 способов извлечения одной детали 1-го или 2-го сорта.

Задача 4. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Их число равно

Задача 5. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены различные премии?

Решение. Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций, как составом, так и их порядком. Так как каждый фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям, то одни и те же фильмы могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 10 элементов по 5.

Задача 6. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетания из 16 элементов по 2. Их число равно

Задача 7.В условиях задачи 6 определить, сколько существует вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены одинаковые призы?

Решение. Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок фильмов в комбинации 5 призов значения не имеет, и число вариантов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5, определяемое по формуле

Таким образом, за этот этап можно получить 4 балла.

Третий этап. Это этап с задачами на логику, очень интересный и слегка отвлеченный этап на котором учащиеся могут принести дополнительные 2 балла своей команде. (За каждую верно решенную задачу учащиеся получают 0.25 балла).

Четвертый этап. Подсчет и оглашение баллов. Победившая команда освобождается от домашнего задания на одно занятие. Каждый участвующий получает хорошую оценку по математике.

Групповая работа хороша тем, что позволяет, объединив усилия грамотно распределить роли, проявить активность каждому и найти для себя дело и роль по душе. Для нас же это тренировка умения планировать, анализировать и презентовать свою работу.

Список литературы:

https://infourok.ru/proekt-po-matematike-na-temu-komb..

https://znanio.ru/media/issledovatelskij-proekt-po-ma..

https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2019/11/10/proe..

Phillip Carter & Ken Russel PICTURE PUZZLE

https://www.matburo.ru/sub_test.php?p=test_komb1

https://docs.yandex.ru/docs/view?url=ya-browser%3A%2F%2F4DT1uXEPRrJRXlUFoewruGBD-lgUqMm0TIACvdR688Muoozqx6RQQeojsfj6cjXwkN-O5QEMkhpyrjBmAL_R1pDFt7NUsJj2R2ytdmsA4KMwt4FrE-JL3BjCkNHDSVd9alL21hgj3UI8516I-6cnWA%3D%3D%3Fsign%3DvNO4cbksn0bY74_vwWAUmmcJsFCMafKKcklq9_HqYXM%3D&name=Zadaniya_s_rech_kMod1_18_02_13.doc&nosw=1

Код для цитирования: Скопировать