XIV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2022

Рассмотрим пограничный слой на плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении (Рис.1). Обозначения: 1 – эпюра скоростей в на-бегающем потоке ; 2 – распределение скоростей в сечении ламинарного по-граничного слоя; 3 – распределение скоростей в сечении турбулентного пограничного слоя; x_к – координата точки перехода ламинарного погра-ничного слоя в турбулентный.

Рис.1. Схема перехода в пограничном слое из ламинарного в турбулентное течение при продольном обтекании плоской пластины

Ламинарный пограничный слой, образовавшийся у передней кромки пластины, на некотором расстоянии x_к переходит в турбулентный. Этот

переход характеризуется критическим числом Рейнольдса Re  ^v_ϑ^∞x . Для

практических условий можно считать, что при Re ≥ 5 ⋅ 10⁵ движение в по-граничном слое происходит при турбулентном режиме.

Для несжимаемой жидкости, в отсутствии поля внешних сил и для стационарного обтекания пластины плоскопараллельным потоком жидко-сти система дифференциальных уравнений пограничного слоя имеет вид:

vx

∂v

x

 vy

∂vy

−

1 ∂P

ϑ

∂2 v

x

(а)

∂x

∂y

ρ ∂x

∂y2

(1)

∂v

x



∂vy

 0 (б)

∂y

∂x

с граничными условиями

vx = vy = 0 при y = 0 и vx = v∞ при y = ∞.

(2)

ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Интегрируя уравнение (1а) в пределах толщины пограничного слоя от 0 до δ, можно получить интегральное уравнение пограничного слоя при ламинарном обтекании плоской пластины.

∂ δ		∂v	δ	1			∂P
	∫(v∞ − vx )vxdy −	∞	∫ vxdy 		G0			δ ,	(3)
∂x		∂x		ρ			∂x
0			0

где G₀ – напряжение трения на поверхности пластины,

G0	(	∂vx	)y0 .	(4)
		∂y

Введем два новых линейных параметра: толщину вытеснения скоро-сти δ^* и толщину потери импульса δ^**.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Интегральное уравнение пограничного слоя (7) используется для при-ближенных решений, в основе которых лежит заданный профиль скорости v_x(y). Например, положим:

vx  A  By  Cy2  Dy3 ,

(8)

где постоянные А, В, С, D определяются из следующих граничных условий:

при

y  0, v x	 0,	∂ 2 v		x	 0,			(9)
		∂y 2
y  δ , v x	 v ∞ ,		∂ v x			 0 .		(10)
			∂ y

Удовлетворяя эти условия, получим значения постоянных:

A0; B	3		v∞	; C0; D−	1		v∞	.		(11)
	2 δ				2 δ3

Тогда кривая распределения скорости будет иметь вид:

v x		3		y	−	1	(	y	) 3 .	(12)
v ∞		2		δ		2
								δ

Найдем толщины вытеснения импульса:

	1	δ		39
δ** 		∫0	(v∞ − vx )vxdy 		δ .	(13)
	V∞2			280

Напряжение трения на стенке будет равно:

∂v x

3

v∞

G

0







.

(14)

∂y

2

δ

y  0

Тогда, полагая в интегральном уравнении

∂v∞

 0

, получим:

∂x

39

2

dδ

−

3

ν

v∞

v∞

.

(15)

280

dx

2

δ

После интегрирования (15) получим:

δ  4 .64		ν x	,				(16)
		v ∞
или
δ 	4.64 .						(17)
x	Re x
Подставляя (16) в выражение (14), найдем напряжение трения на
стенке:
G0	0.323ρv		2				(18)
		Re x	∞ .
или, переходя к безразмерному коэффициенту Cfx						2G0		:
						ρv∞2
Cfx  0,646 .								(19)
		Rex

Код для цитирования: Скопировать