XIV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2022

Планирование с учетом минимальных временных и финансовых затрат является важной задачей. Динамическое программирование позволяет повысить результативность проектирования систем управления технологическим оборудованием.

Динамическое программирование появилось в 1951-1953 годах, благодаря работам Р. Беллмана. Динамическое программирование основано на принципе оптимальности Р. Беллмана, который заключается в замене решения исходной многомерной задачи последовательностью задач меньшей размерности. Принцип Р. Беллмана применяется для принятия решений в многоступенчатых процессах и формулируется следующим образом: если в каждом из состояний дальнейшее поведение системы не зависит от того, как она попала в это состояние, то дальнейшая траектория должна быть оптимальной. Траектория относится к последовательности состояний, в которых находится система.

В каждом из состояний системы известны воздействия, последствия и затраты на переход из одного состояния в другое. Пусть  шаговое управление на  этапе, ,  — количество этапов. Решение задачи сводится к определению последовательности воздействий на состояние системы  при которой суммарные затраты минимальны

где — затраты на шаге.

В соответствии с принципом оптимальности Р. Беллмана,  выбираются таким образом, чтобы суммарные затраты на последующие этапы были минимальны. Суммарные затраты зависят от состояния  и складываются из затрат на  шаге  и на последующих шагах. Суммарные затраты на все этапы обозначим , тогда оптимальное управление на каждом шаге определяется по рекуррентному уравнению динамического программирования.

где  — состояние системы;  — затраты на  этапе;  — затраты на следующем этапе.

Рекуррентное уравнение динамического программирования выражает затраты на все оставшиеся этапы из любого состояния  через затраты на данном  и на всех последующих шагах  . Для последнего шага затраты рассчитываются по формуле

где   — затраты на последнем шаге .

Разработаем математическую модель динамического программирования оптимального размещения электронных компонентов на электромонтажной панели системы управления технологическим оборудованием.

Постановка задачи. Имеется окончательный набор электронных компонентов системы управления технологическим оборудованием, и известен приоритет и оценка эффективности размещения электронного компонента на электрической панели. Необходимо разместить электронные компоненты на панели таким образом, чтобы максимизировать общий эффект (полезность).

Размещение электронных компонентов на панели системы управления — многоэтапный процесс. Решение задачи определяется методом динамического программирования (метод Р. Беллмана).

Пусть  — электронный компонент системы управления технологическим оборудованием (  — пустой электронный компонент), ,  — уникальное место размещения электронного компонента,, ,  — бинарная переменная ( —  электронный компонент размещен на  месте, иначе =0 ). Оценка эффективности (полезность)  размещения   электронного компонента   на  месте размещения.

Математическая модель оптимального размещения электронных компонентов системы управления имеет вид

Целевая функция при ограничениях

Ограничение 1 обеспечивает размещение одного электронного блока на панели схемы системы управления технологическим оборудованием на шаге.

Ограничение 2 обеспечивает уникальность места расположения электронного компонента на схеме системы управления.

Ограничение 3 налагает не отрицательность на искомые переменные.

Ограничение 4 налагает дискретность на искомые переменные.

Множество  сформировано в результате решения задачи оптимизации структуры схемы системы управления модульной компрессорной станцией. Множество   ранжировано. Это позволяет размещать в первую очередь значимые и ответственные электронные компоненты на электромонтажной панели системы управления.

Оценка эффективности (полезность)  размещения   электронного компонента на  месте размещения, ,  представляет интегрированный показатель, учитывающий количественные и качественные характеристики электронных компонентов системы управления. К примеру, размеры и конструктивные особенности электронных компонентов, удобство монтажа и обслуживания, требования техники безопасности и т. д.

На рисунке 1 представлена сетевая модель задачи оптимизации размещения электронных компонентов системы управления.

Рисунок 1 - Декомпозиция задачи оптимизации размещения электронных компонентов системы управления на  этапов

Динамическое программирование определяет наиболее подходящее решение -мерных задач путем ее декомпозиции на  этапов. Вычислительное преимущество данного подхода состоит в том, что решается одномерная оптимизационная задача вместо  — мерной задачи. Для решения задач методом динамического программирования используются рекуррентные алгоритмы прямой и обратной прогонки. В прямом алгоритме вычисления проводятся последовательно от первого этапа до последнего. В обратном алгоритме вычисления проводятся от последнего этапа до первого.

Если задано начальное состояние управляемой системы, то задача решается в обратном направлении, a если конечное, то в прямом. Если заданы как начальное, так и конечное состояния, то задача усложняется.

С вычислительной точки зрения алгоритм обратной прогонки более эффективный, чем алгоритм прямой прогонки.

Модели динамического программирования включают три основных элемента:

1.      Определение этапов.

2.      Определение на каждом этапе вариантов решения.

3.      Определение состояний на каждом этапе.

В соответствии с поставленной целью в работе сформулированы следующие выводы.

Разработана математическая модель динамического программирования размещения электронных компонентов схемы системы управления модульной компрессорной станцией. Математическая модель позволяет сократить затраты и сроки проектирования схемы, повысить обоснованность принимаемых решений.

Код для цитирования: Скопировать