XIV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2022

Математический анализ на сегодняшний день является широкой сферой академических сведений с конкретным предметом исследования (переменная), своего рода исследовательским методом (через анализ бесконечно малых или через предельные переходы), устоявшейся концепцией базовых определений и также регулярно улучшающимся механизмом, в основе которого лежит дифференциальное исчисление, которое имеет чрезвычайно обширную практическую значимость в разных сферах учения и фактических занятий людей [1].

Теперь нужно дать конкретное определение нашей теме. Что же такое дифференциальное исчисление? Дифференциальное исчисление - это раздел математического анализа, который исследует концепции производной и дифференциала и их применение к изучению функций [2].

Дифференциация - тема столь же важная (без нее немыслим современный математический анализ), сколь и трудная для понимания. Причем трудности возникают даже не в применении этого метода, а в его глубинных основах. Действительно, трудно переоценить важность этой концепции, особенно ее приложений в геометрии, механике, физике и многих других науках.

Производная вводится ещё в школе. Но она представлена несколько в ином виде. Нет определения дифференцируемости, нет акцента на определении.

Сегодня в парадигме математического образования прочно закрепился тезис о том, что школьная математика - это не наука, а академический предмет, в котором концепции важнее строгих научно-математических определений. Следовательно, для того, чтобы ввести формальное определение сложного математического понятия, которым является понятие производной, учитель должен иметь четкую стратегию и хорошо продуманную тактику. И если мы добавим, что такие области, как механика Ньютона или дифференциальные уравнения, немыслимы без производной, тогда важность овладения этой концепцией становится решительно очевидной.

Разумеется, никто не хочет обвинить школьных учителей математики в некомпетентности или тем более в неправильном преподавании. Просто в определении касательной есть уточнение, что свойство единственности точки пересечения выполняется «около» точки касания, то есть касательная является секущей с одной точкой пересечения. Такое определение, хотя и не строгое, тем не менее, даст некоторое представление о касательной; но это именно концепция, а не строгое определение, которое необходимо усвоить; концепция достаточно проста для понимания.

Выход, я думаю, в том, что те, кто планирует поступать в вуз (особенно там, где нужно понимание математики), занимаются по желанию. Кроме того, без спешки и суеты должны быть даны основы анализа, требующие точного усвоения понятий.

Уровни знакомства с понятием, по мнению Мордковича А.Г. [3] бывают разными, из них три основных:

наглядно - интуитивный уровень (новое понятие вводится, например, по картинке);

рабочий (описательный) уровень (когда ученика спрашивают «как ты понимаешь, что такое…»);

формальный уровень.

В настоящее время в школьных программах по алгебре при начальном изучении производной функции обычно применяют исторический подход, то есть изначально формируются понятия производной, и только потом, понятие предела функции. Именно при таком подходе большое внимание будет уделяться практическим аспектам изучения производной.

Когда в школе преподносится то же элементарное понятие производной (заметьте, не строгое математическое определение, а понятие), кажется, что необходимо вернуться к методу, возникшему в восемнадцатом веке. Он сформировался в ряде работ И. Ньютона и Г.В. Лейбниц. Элементы будущего дифференциального исчисления были проработаны при решении задач, которые в настоящее время решаются с помощью дифференцирования. Ньютон пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости материальной точки в данный момент времени. Вывод и различные утверждения с его применением стали обнаруживаться в работах Галилео Галилея, Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад в изучение деривации внесли такие руководители, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др. В то время существовало три типа таких задач: определение касательных на кривых, нахождение максимумов и минимумов функций. Фактически, понятие производной естественно возникает из анализа нерегулярных движений. [2]. Таким образом, скорость, такая как пройденное расстояние, разделенное на истекшее время, в случае такого движения не дает никакой информации о том, как это движение выполняется. Эти соображения приводят к «мгновенной скорости», которая в конечном итоге образуется в производной движения по времени. Но школьнику потребуется время, чтобы осмыслить эти факты, поэтому гораздо проще просто дать правила вычисления производных, «штриховать», а затем: «делать по аналогии» [4].

При изучении применения производной важнейшая роль отводится визуальным представлениям производной. Исходя из геометрического и физического значений производной, ученики сразу видят критерии увеличения и уменьшения функций, знаки максимума и минимума.

Решение различных геометрических, физических и практических тестовых задач с использованием производной позволяет студентам ознакомиться с различными этапами решения прикладных задач: составление математической модели (перевод задачи на функциональный язык), решение проблемы, полученной с помощью математического анализа и, наконец, интерпретировать полученное решение с точки зрения исходных задач.

При вычислении производной ученикам очень сложно выбрать, какие правила использовать. Лучше еще на этапе ознакомления с темой дать алгоритм вычисления производной в виде последовательных ответов на вопросы:

Является ли функция элементарной? Если да, то находим производную по таблице.

Какие функции «входят» в данную функцию?

Какое действие «связывает» функции (сложение, умножение, деление) или функция является сложной?

Если функции «связаны» арифметическими действиями, то используется соответствующее правило дифференцирования.

Если функция является сложной, то находим производную от каждой функции и перемножаем их. При этом аргумент функции не меняется [5].

Основная трудность в работе учителя математики по изложению принципов анализа заключается в адекватном и концептуальном выборе уровня строгости изложения материала школьникам. В учебном предмете возможны четыре уровня обоснования определенных свойств, утверждений, фактов:

принятие на веру, то есть без доказательств;

наглядно-интуитивный уровень, то есть замена доказательств геометрическими иллюстрациями;

правдоподобные рассуждения (например, использование вместо доказательств наглядного примера, в котором фактически раскрывается идея формального доказательства);

формально строгое доказательство [6].

Перечень терминов и определений, которые должны усвоить выпускники средней школы, определяет методические особенности обучения элементам математического анализа в школе. Так как в школьной программе происходит первое знакомство с дифференциальным исчислением, то для учителя очень важным является вопрос уровня строгости введения нового математического понятия. Крайне нежелательно вырывать определение из контекста. Дать определение производной (строгое!) без теории пределов, определений дифференцируемости и непрерывности – лишь «забить» человеку голову информацией, которую он забудет после экзамена.

Итак, можно подвести итог, внедрение элементов математического анализа в школьную программу продиктовано вызовами стремительного развития новых промышленных и информационных технологий, возросшей потребностью в профессиональных навыках современного специалиста по математическому изучению явлений реального мира. Именно поэтому дифференциальное исчисление в школьной программе, опираясь на представленную статью, необходимо.

Список литературы:

Конькова М.И. Обучение основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления: диссертация ... кандидата педагогических наук: 13.00.02 / М.И. Конькова. – Арзамас, 2013. Режим доступа: https://new-disser.ru/_avtoreferats/01006636151.pdf (дата обращения: 07.10.2021)

Кармановская Т.В. Дифференциальное исчисление в прикладных задачах / Т.В. Кармановская // Наука и современность. -2013.- № 26-2. - С. 28-33. Режим доступа: https://elibrary.ru/download/elibrary_21041210_36641518.pdf (дата обращения: 08.10.2021)

Мордкович А.Г., Смирнова И.И., Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11 класс. Методическое пособие для учителя/ А.Г Мордкович, И.И. Смирнова – М.: Мнемозина, 2015.

Ширяев К.Е. Несколько слов о преподавании дифференциального исчисления/ К.Е. Ширяев, С.В. Кравченко // International Scientific Review -2015-№ 7 (8). - С. 10-12. Режим доступа: https://elibrary.ru/download/elibrary_24209350_22842690.pdf (дата обращения: 07.10.2021)

Акимов Д.В. Пособие для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Задания по экономике: от простых до олимпиадных./Д.В.Акимов, О.В.Дичева, Л.Б.Щукина.- М.: ВИТА-ПРЕСС, 2009. -320с.

Подласый И.П., Педагогика/ И.П. Подласый – М.: Владос. Режим доступа: http://www.cross-kpk.ru/ims/ims%202014/3/files/Подласый%20И.П.%20Педагогика.pdf (дата обращения: 07.10.2021)

Код для цитирования: Скопировать