XIV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2022

Введение

Моделирование — исследование объектов познания на их моделях, построение и изучение моделей реально существующих объектов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователей.

Под математическим моделированием понимают изучение свойств объекта на математической модели. Его целью является определение оптимальных условий протекания процесса, управление им на основе математической модели и перенос результатов на объект.

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо процесса, выраженное с помощью математической символики.

От того насколько правильно построена математическая модель и определены оптимальные условия протекания процесса, будет зависеть эффективное функционирование системы управления и регулирование процессом при наличии возмущений [4].

Целью данной работы является составление математической модели системы автоматического регулирования объекта управления, а также создание её в среде Simulink математического пакета MATLAB 7.10.

1. Описание модулируемого объекта

Автоматизированный технологический комплекс (см. рис. 1), включает в себя проточную ёмкость, в которую установлен паровой подогреватель воды. Вода в ёмкость подаётся с температурой 20°С и массовым расходом 40кг/мин. В ёмкости поддерживается постоянный уровень; масса воды, находящейся в ёмкости – 100 кг. Температура воды, выходящей из ёмкости – 80 °С. Для совершенной работы стоит подобрать настройки так, чтобы выполнялись ограничения на требуемую температуру, то есть Т=80°С.

Регулирование температуры осуществляется с помощью пропорционально-интегрального регулятора, который создает управляющее воздействие при изменении температуры. Стабилизация температуры воды осуществляется изменением расхода пара через змеевик.

Возмущающим воздействием является изменение расхода воды, поступающей в объект.

Рисунок 1. Схема системы автоматического регулирования температуры

В данной работе, для моделирования системы управления, стоит рассмотреть только тепловые процессы, протекающие в объекте [1].

Данный объект представляет собой аппарат с идеальным перемешиванием потока (см. рис. 1), то есть температура во всех точках аппарата одинакова, поэтому математическая модель – модель с сосредоточенными параметрами, следовательно, существует система допущений [6]:

Теплофизические параметры ­­­- постоянны;

Теплоемкостью материала реактора пренебрегаем;

Инерционность канала регулирования считаем пренебрежимо малой по сравнению с инерционностью объекта;

Запаздыванием при передаче управляющего воздействия пренебрегаем;

Пар конденсируется полностью;

Считаем толщину стенки змеевика бесконечно малой.

2. Анализ систем автоматического регулирования

Возмущающим воздействием является изменение расхода воды на входе в объект, регулируемый параметр – температура воды в проточной емкости, управляющее воздействие – изменение расхода греющего пара на входе в змеевик за счет изменения степени открытия клапана [5].

Структурная схемы модели САР температуры включает в себя смотри рисунок 2 и таблицу 1:

Рисунок 2. Структурная схема модели

Таблица 1. Сокращения, используемые на структурной схеме, рисунок 2

Сокращение	Пояснение к сокращениям
ОР	Объект регулирования (проточная ёмкость)
ПП	Первичный преобразователь
Р	Регулятор (ПИ-регулятор)
ИУ	Исполнительное устройство (клапан)
x(t)	Расход греющего пара на входе в змеевик
y(t)	Температура жидкости (регулируемый параметр)
Y(t)	Приведенная температура жидкости (безразмерная величина 0...1)
u(t)	Управляющее воздействие (0…1)
z(t)	Расход жидкости на входе в объект (возмущающее воздействие)

3. Составление структурной схемы и математической
модели объекта

В соответствии с принятой системой допущений структурная схема объекта будет выглядеть следующим образом (см. рис. 3 и табл. 2):

Рисунок 3. Структурная схема объекта

Таблица 2. Сокращения, используемые на структурной схеме, рисунок 3

Сокращения	Пояснение к сокращениям
Qв	Приходящий тепловой поток воды, Дж/с
Qп	Приходящий тепловой поток пара, Дж/с
Qвых	Выходной тепловой поток, Дж/с

В проточной емкости происходит перенос тепла от греющего пара к воде, протекающей через емкость. Балансовое соотношение в общем виде выглядит следующим образом (1), (см. табл. 3):

(1)

Таблица 3. Пояснение к формуле (1)

Значение	Пояснение
Σприх	Количество вещества или энергии, приходящей в объект
Σух	Количество вещества или энергии, уходящей из объекта
	Производная по времени от количества вещества или энергии, находящейся в объекте

Уравнение материального баланса может быть заменено тепловым балансом (2) [1]:

(2)

Приходящий тепловой поток воды рассчитываем по формуле (3), (см. табл.4) [1]:

, (3)

Таблица 4. Пояснение к формуле (3)

Значение	Пояснение
mв	Массовый расход воды, кг/c,
св	Удельная теплоемкость воды, [1]
TВХ	Температура воды, поступающей в проточную емкость °C,

Приходящий тепловой поток пара рассчитывается по формуле (4), (см. табл.5):

, (4)

Таблица 5. Пояснение к формуле (4)

Значение	Пояснение
r	Удельная теплота парообразования [1], Дж/К,
mп	Массовый расход пара, кг/c, который определяется из модели статики объекта

Уходящий тепловой поток с водой рассчитывается по формуле (5), (см. табл.6) [2]:

, (5)

Таблица 6. Пояснение к формуле (5)

Значение	Пояснение
mв	Массовый расход воды,
св	Удельная теплоемкость воды
TЗ	Температура воды, уходящей из емкости, °C,

Производная от количества тепла, находящегося в емкости (6):

, (6)

Таблица 7. Пояснение к формуле (6)

Значение	Пояснение
MВ	Масса воды, находящейся в емкости, кг,
св	Удельная теплоемкость воды [1]
	Производная от температуры по времени

Подставив выражения (3), (4), (5), (6) в уравнение теплового баланса (2), получим (7) [4]:

. (7)

Запишем начальное условие – значение температуры на выходе из емкости в момент времени равный нулю (8):

(8)

Начальный массовый расход пара m⁰_п в змеевике определяем из модели статики объекта (9):

, (9)

откуда получается формула 10:

, (10)

Таблица 8. Пояснение к формуле (10)

Значение	Пояснения
r	Удельная теплота парообразования, Дж/К
mв	Массовый расход воды, кг/c
св	Удельная теплоемкость воды
TЗ	Температура воды, уходящей из емкости, °C
TВХ	Температура воды, поступающей в проточную емкость °C

Таким образом, объединив уравнения (7) и (10) и добавив начальное условие (8), получим динамическую модель объекта [3]:

. (11)

4. Составление математической модели САР температуры

Кроме объекта регулирования САР температуры содержит первичный преобразователь, ПИ-регулятор и исполнительное устройство в виде клапана (см. рис. 2) [4].

4.1 Модель первичного преобразователя (ПП)

Рисунок 4. Структурная схема ПП

На рисунке 4 показана структурная схема первичного преобразователя и в таблице 9 описаны сокращения.

Таблица 9. Сокращения, используемые на структурной схеме, рисунок 4

Сокращения	Пояснение к сокращениям
y(t)	Температура жидкости (регулируемый параметр)
Y(t)	Выходной сигнал с ПП (0...1)

Инерционность первично преобразователя бесконечно мала по сравнению с инерционностью объекта [8]. На выходе первичного преобразователя имеется электрический сигнал. Электрический сигнал может быть по току, по напряжению, с разными диапазонами, цифровой и т.д., но в любом случае минимальному значению измеряемой величины соответствует минимальное значение выходного сигнала, а максимальному – максимальное значение выходного сигнала. Для единообразия модели выходной сигнал в модели представляется безразмерной переменной, изменяющейся в пределах от 0 до 1 [5].

(12)

Где, y_max, y_min – пределы измерения конкретного преобразователя.

4.2 Модель ПИ-регулятора

Зависимость, по которой выходной сигнал ПП Y(t) преобразуется в регулирующее воздействие, U называется законом регулирования [7].

Управляющее воздействие регулятора определяется законом регулирования.

Для ПИ-закона регулирования (13), (см. табл. 10):

, (13)

Таблица 10. Пояснение к формуле (13)

Значение	Пояснения
	Регулирующее воздействие (14)
Ку	Коэффициент усиления регулятора
Ти	Время интегрирования
	Ошибка регулирования (15)

В начальный момент времени регулирующее воздействие равно нулю.

. (14)

Ошибка регулирования или рассогласование  находится по следующей формуле (15):

. (15)

4.3 Модель исполнительного устройства (ИУ)

Допущения: пренебрегаем инерционностью ИУ.

Степень открытия клапана высчитывается по формуле (16), (см. табл. 11):

, (16)

Таблица 11. Пояснение к формуле (16)

Значение	Пояснения
U	Регулирующее воздействие
А0	Начальная степень открытия клапана, она принимается за А0=0,5

Расходную характеристику считается линейной (17), (см. табл. 12).

(17)

Таблица 12. Пояснение к формуле (17)

Значение	Пояснения
А	Степень открытия клапана
k	Коэффициент передачи клапана

Находим из начальных условий из уравнения (10):

(18)

4.4 Модель динамики САР температуры

Учитывая уравнения (11), (12), (13), (14), (15), (16) и (18) получим модель динамики САР температуры (19):

. (19)

5. Создание модели САР температуры в MATLAB 7.10

Для визуализации и практического выполнения задания воспользуемся приложением MATLAB 7.10 [4].

Для построения схемы моделируемого объекта в приложении Simulink (приложение, ориентированное на моделирование динамических систем с использованием функциональных блоков) воспользуемся следующими блоками в таблице 13:

Таблица 13. Блоки в MATLAB 7.10

Блоки	Название блоков в MATLAB 7.10	Описание блоков
	Constant	Константа
	Gain	Умножение на константу или переменную
	Sum	Суммирование
	Integrator	Интегрирование сигнала
	Scope	Просмотр результата (визуализация графиков)
	Fcn	Преобразование входного сигнала в выходной в соответствии с заложенной в блоке функцией

5.1 Определение параметров модели

Для определения всех констант создается М-файл «Ksenia.m» (см. рис. 5):

Рисунок 5. Создание М-файла

В этом файле описываются все заданные константы, а также начальные значения.

5.2 Создание модели объекта

В Simulink создаем отдельно объект (см. рис. 6):

Рисунок 6. Создание модели объекта

Возмущающим воздействием в системе является изменение расхода поступающей в проточную емкость воду.

Переходная характеристика объекта при ступенчатом изменении расхода воды на 20% выглядит следующим образом (см. рис. 7):

Рисунок 7. Переходная характеристика объекта при ступенчатом изменении расхода воды

Теперь создается подсистема модели, для этого выделяем необходимую часть блоков, получилась модель объекта в виде подсистемы, представленная на рисунке 8.

Рисунок 8. Модель объекта в виде подсистемы

Вход «Vozm» необходим для подачи возмущения.

На вход «mp» поступает сигнал от исполнительного устройства, изменяющий расход греющего пара.

Выход «T» служит для передачи сигнала, выходного параметра, температуры в контур регулирования.

5.3 Создание модели ПИ–регулятора, ИУ, ПП

Аналогично создаем модель ПИ-регулятора и маскируем в подсистему «ПИ-Регулятор» (см. рис. 9 и табл. 14):

Рисунок 9. Маскированная подсистема «ПИ-Регулятор»

Таблица 14. Блоки в Маскированной подсистеме «ПИ-Регулятор»

Название блока	Описания блока
«k»	Для умножения ошибки регулирования на коэффициент усиления
«Ti»	Для учета времени интегрирования
«Ogranichitel»	Необходим для предотвращения выхода значения величины управляющего воздействия за допустимые границы (0…1)
«Integrator»	В свойствах задаем начальное регулирующее воздействие равное нулю

Модель исполнительного устройства создается по аналогии (см. рис. 10).

Рисунок 10. Модель исполнительного устройства

Выходной сигнал ИУ – новый расход греющего пара в змеевике при уточненной (новой) степени открытия регулирующего органа А.

5.4 Модель САР температуры

После объединения всех созданных подсистем, объединяем их в соответствии со структурной схемой САР температуры (см. рис. 11).

Рисунок 11. Модель САР температуры

Запускаем программу с помощью кнопки Run в рабочем окне Simulink. Затем двойным нажатием левой клавиши мыши по блокам graph PI-regulyator и Graph Obj. Процесс моделирования проводим в интервале времени от 0 до 1000 с., соответственно в результате получаем следующие графики переходного процесса при настройках регулятора К_у=1 и Т_и=1(см. рис. 12, 13):

Рисунок 12. Переходный процесс в САР температуры

Рисунок 13. Регулирующее воздействие ПИ-регулятора

Заключение

При написании работы, была составлена математическая модель системы автоматического регулирования температуры воды на выходе из проточной емкости.

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо процесса, выраженное с помощью математической символики. Очень важно насколько правильно построена математическая модель и определены оптимальные условия протекания процесса, так как от этого будет зависеть эффективное функционирование системы управления и регулирование процессом при наличии возмущений.

В данной работе стабилизация температуры была осуществлена с помощью замкнутого контура регулирования с использованием в качестве регулирующего воздействия изменение расхода пара через змеевик. В качестве регулятора выбирали пропорционально-интегральный регулятор с коэффициентом усиления k=1 и постоянной времени интегрирования T_i=1.

В итоге были построены графические зависимости переходного процесса в САР температуры и регулирующего воздействия ПИ регулятора с помощью математического пакета MATLAB 7.10.

Список используемой литературы

Павлов К.Ф., Романков П.Г., Носков А.А. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии: Учеб. пособие для вузов.10-е изд. – Л.: Химия, 1987. – 576 с.

Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB

А.В. Леоненков. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003.- 719 с.

Моделирование в среде MATLAB-Simulink: метод. указания к лабораторным работам / сост.: А. И. Герасимов, В. В. Регеда, О. Н. Регеда. – Пенза: Изд-во ПГУ, 2017.  104 с

Ануфриев, И. Е. MATLAB 7: Самоучитель / Ануфриев, И. Е. Смирнов, А.Б. Смирнова, Е. Н. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.

Масловская, А.Г. Основные принципы работы и конструирование интерфейса в Matlab: Практикум / Масловская, А. Г. – Благовещенск.: Амурский гос. ун-т, 2008. – 55с.

Масловская, А. Г. Численные методы. Моделирование на базе Matlab: Практикум / Масловская, А. Г. Черпак, Л. В. – Благовещенск.: Амурский гос. ун-т, 2006. – 120с.

Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / Самарский, А. А. Михайлов, А.П. – М.: Наука. Физматлит. 1997 – 320с.

Тарасевич, Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование / Тарасевич, Ю.Ю. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 152с.

Код для цитирования: Скопировать