XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

До середины XIX века главной задачей алгебры было нахождение формулы для корней уравнения P(x) = 0, где Р – многочлен произвольной степени. Эта задача была полностью решена в работах молодых математиков первой трети XIX века – Э. Галуа (1811-1832), Н. Абеля (1802-1829) и П. Руффини (1765-1822).

Еще в XVI веке итальянскими математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени. Абель и Руффини доказали, что, начиная с пятой степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Галуа открыл закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению.

Параллельно с этим К. Гаусс доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). После этого вопрос о вычислении корней многочлена переместился из алгебры в теорию функций и приближенных вычислений.

В XX веке роль многочленов стала меняться. Буквы, входящие в многочлен, все больше стали играть роль символов, не связанную с их конкретными значениями. Самые разные области математики и ее приложений стали использовать символьное исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т. д.).

Приведем пример. В XX веке важнейшей задачей человечества стала задача передачи информации (радио, телефон, передача видеосигналов и т. д.).

Математически сообщение может быть записано в виде последовательности символов (точки и тире в старинной азбуке Морзе, нули и единицы и т. п.), передаваемой по так называемому каналу связи (например, в виде радиосигналов). При передаче возможны искажения, которые при приеме сообщения должны быть исправлены. Была предложена (и активно используется по настоящее время) идея кодирования сообщения – такой его передачи, что после приема-передачи можно было бы обнаружить и исправить случайные ошибки. Основной способ кодирования состоит в следующем. Из последовательности сигналов (например, из цифр 0 и 1) составляется формальный многочлен.

Затем подбирается некоторый фиксированный многочлен Q(x) (кодирующий многочлен) и умножается на P(x). Передается не исходная последовательность сигналов, а последовательность коэффициентов произведения.

Многочлен Q(x) можно подобрать так, что при приеме будут распознаваться случайные ошибки, возникшие при передаче. При этом поиск кодирующего многочлена Q(x) оказался чисто алгебраической задачей, так как эта задача связана с вопросами делимости многочлена и поведения его корней.

В математике, многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

Самые различные проблемы механики, физики и всевозможных отраслей техники сводятся к вопросу о корнях многочленов, притом иногда достаточно высоких степеней. Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

Это обстоятельство явилось поводом для весьма многочисленных исследований, имевших целью научиться делать те или иные высказывания о корнях многочлена с числовыми коэффициентами, не зная этих корней. Для многочленов с действительными коэффициентами разрабатываются методы определения числа их действительных корней, границы между которыми эти корни могут находиться, и т. д.

Нужно найти верхнюю границу положительных корней любого многочлена. Пусть дан многочлен f(х) степени n и пусть N₀ будет верхней границей его положительных корней. Рассмотрим многочлены

φ₁ (x) = xⁿ f ( )

φ₂ (x) =f (-x)

φ₃ (x) = xⁿ f (- )

и найдем верхние границы их положительных корней.

Для рассмотренного выше многочлена h(х) этот метод дает, ввиду k=2 и

В =7 , в качестве верхней границы положительных корней число 1+√7, что можно заменить ближайшим большим целым числом 4.

Из многочисленных других методов разыскания верхней границы положительных корней мы изложим еще лишь метод Ньютона. Этот метод более громоздок, чем изложенный выше, но зато дает обычно очень хороший результат.

Пусть дан многочлен f(х) с действительными коэффициентами и положительным старшим коэффициентом ɑ ₀. Если при х = с многочлен f (х) и все его последовательные производные f ' (х) , f ''(х), …, f(ⁿ⁾(х) принимают положительные значения, то число c служит верхней границей положительных корней.

По формуле Тэйлора :

f (x)= f (c) + (x - c) f ’(c) + (x - c) + … + (x - c)ⁿ

Мы видим, что если x ≥c , то справа будет стоять строго положительное число, т. е. такие значения х не могут служить корнями для f (х).

Применим метод Ньютона к рассматривавшемуся выше многочлену h(х).

h(х)=x⁵ +2x⁴- 5 x³ +8x² – 7х – 3,

hꞌ(х)= 5x⁴+8 x³ - 15x² + 16х – 7,

hꞌꞌ(х)= 20 x³ + 24x² - 30х +16,

hꞌꞌꞌ(х)= 60x² + 48х – 30 ,

hꞌꞌꞌꞌ(х)= 120х +48,

hꞌꞌꞌꞌꞌ(х)=120.

Легко проверить, что все эти многочлены положительны при х=2. Таким образом, число 2 служит верхней границей положительных корней многочлена h(х) - результат, намного более точный, чем полученный результат, выше другими методами.

Для разыскания нижней границы отрицательных корней многочлена h(х) рассмотрим многочлен (φ₂ (х) = -h (- х)¹ ).

φ₂ (х)=x⁵ -2x⁴- 5 x³ -8x² – 7х + 3,

φ₂ꞌ(х)= 5x⁴ - 8 x³ - 15x² - 16х - 7,

φ₂ꞌꞌ(х)= 20 x³ - 24x² - 30х - 16,

φ₂ꞌꞌꞌ(х)= 60x² - 48х -30 ,

φ₂hꞌꞌꞌꞌ(х)= 120х - 48,

φ₂ꞌꞌꞌꞌꞌ(х)=120.

Все эти многочлены положительны, как легко проверить, при х=4, то число 4 служит верхней границей положительных корней для φ (х), и поэтому число — 4 будет нижней границей отрицательных корней для h(х) .

Рассматривая многочлены:

φ ₁(х)= - х⁵h ( ) = 3х⁵ + 7х⁴ - 8х³ +5х² - 2х- 1 ,

φ₂(х)= - х⁵h ( ) = 3х⁵ - 7х⁴ - 8х³ - 5х² - 2х + 1 .

Найдем корни многочлена, применяя метод Ньютона. В качестве верхних границ положительных корней соответственно числа 1 и 4, а поэтому нижней границей положительных корней многочлена h(х) служит число =1, верхней же границей отрицательных корней — число (- ).

Таким образом, положительные корни многочлена h(х) расположены между числами 1 и 2, отрицательные корни между числами (- 4) и ( - ).

В данной работе были изучены элементы высшей алгебры, а именно способы отделения и нахождения корней многочленов, решены конкретных примеров многочленов для иллюстрации этих способов.

Материал, представленный в данной работе может быть использован в общеобразовательных школах , также в школах с математической специализацией. Кроме того, материал может быть рекомендован учащимся старших классов , желающим усовершенствовать свою математическую подготовку перед выпускными и вступительными экзаменами в вузы.

Список литературы:

1 Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М., 2015.

2 Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – М., 2019.

3. Гордон В. А., Шмаркова Л. И. Краткий курс математики / Учебное пособие. — Орёл: Орёл ГТУ, 2020.

Код для цитирования: Скопировать