XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Теория магических квадратов актуальна своей простотой и представляет благородное поле приложения ряда теоретико-числовых концепций.

Магический квадрат – это квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу [2].

Страна, в которой был придуман магический квадрат, точно неизвестна. Также невозможно абсолютно точно установить век, и даже тысячелетие его происхождения. Предполагают, что самым «древним» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (существовавшая ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, столбце, а также в диагонали равна 15.

Наибольшие успехи в развитии теории и практики магических квадратов были достигнуты в Японии, Европе и США [1].

Линейный метод построения магических квадратов порядка n имеет следующий вид, представленный в формуле 1.

(1)

Формулы (1) можно записать в следующем виде и обозначить их (2).

(2)

Подставляя в равенства (2) числа , получаем координаты ряда клеток, часть из которых будет лежать вне основного квадрата. Затем в каждую клетку надо вписать соответствующее число z, заменяя одновременно клетки, лежащие вне основного квадрата, эквивалентными клетками этого квадрата. В результате получим некоторое заполнение клеток основного квадрата числами от 1 до , которое и будет магическим квадратом [3].

Классическим методом построения магических квадратов является индийский метод, иногда называемый сиамским. Он является самым древним алгоритмом построения магических квадратов произвольного нечетного порядка n = 2n + 1. Этот алгоритм описывается следующими правилами:

Числа от 1 до поочередно вписываются в клетки квадрата.

Если правило требует вписать число в клетку, лежащую вне основного квадрата, то вместо этого числа вписывается другое число в эквивалентную клетку основного квадрата.

Число 1 вписывается в среднюю клетку верхнего ряда.

Если число z вписано в клетку с координатами (х, у), то следующее число z+1 вписывается в клетку с координатами (х+1, у+1), т. е. в клетку, смежную с клеткой (х, у), в направлении восходящей диагонали, при условии, что эта последняя клетка еще свободна от чисел.

Если клетка с координатами (х + 1, у + 1) уже занята некоторым числом, то число z + 1 вписывается в клетку с координатами (х, у — 1), т. е. в клетку, непосредственно примыкающую снизу к клетке (х, у).

На рисунке (1) изображен магический квадрат третьего порядка, построенный индийским методом. Для ясности на этом рисунке заполнены также некоторые клетки вне основного квадрата.

Рисунок 1 – Индийский метод

Из полученного по индийскому методу магического квадрата третьего порядка можно поворотами около центра и отражениями в сторонах получить еще семь других магических квадратов.

Метод Баше самый простой метод построения магических квадратов нечетного порядка. Он известен также как метод террас.

Для построения магического квадрата следует выбрать на плоскости n соседних диагональных рядов, содержащих по n клеток и таких, что средняя клетка каждого ряда принадлежит нисходящей диагонали основного квадрата. Клетки левого верхнего ряда заполняются снизу вверх числами . Клетки p-го ряда, где , заполняются числами (p1)n+1, (p1)n+2, , pn. Заполненные таким образом клетки расположены внутри основного квадрата и образуют по бокам четыре совершенно одинаковых выступа или террасы.

На рисунке (2) легко видеть, что каждая пустая клетка основного квадрата эквивалентна одной и только одной клетке некоторой террасы. Получающийся таким образом числовой квадрат является магическим [2].

Рисунок 2 – Метод Баше

На рисунке (2) образовавшиеся при заполнении клеток террасы обозначены римскими цифрами I, II, III и IV. Для построения магического квадрата террасу I следует передвинуть параллельно самой себе так, чтобы линия AD совпала с линией ВС, террасу II передвинуть так, чтобы линия АВ совпала с линией DC, террасу III — так, чтобы линия ВС совпала с линией AD и, наконец, террасу IV — так, чтобы линия DC совпала с линией АВ. Получающийся в результате магический квадрат изображен на рисунке (3).

Рисунок 3 – Метод Баше

Анализируя данную тему, можно сказать, что магический квадрат – это фигура древнекитайского происхождения, имеющая множество способов заполнения, который всегда будет зависеть от порядка самого квадрата. Несмотря на то, что магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики.

Список литературы:

Гуревич, Е.Я. Тайна древнего талисмана. / Е.Я. Гуревич – М.: Изд-во Наука, 2017. – 242 с.

Климченко, Д.В. Магические квадраты для любознательных. Пособие для учащихся 5-6 классов. / Д.В. Климченко – М.: Изд-во Просвещение, 2018. – 216 с.

Постников, М.М. Магические квадраты. / М.М. Постников – М.: Изд-во Стереотип, 2019.- 94 с.

Код для цитирования: Скопировать