XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Математика - наука о структурах, порядке и отношениях, которая сложилась в истории на основе операций счёта, измерения и описания формы данных объектов. Применение математики весьма разнообразно.

Математика возникла еще в далекие времена, но в различных государствах и странах темпы ее развития были соответственно разными.

В отличие от древнегреческой математики, математика Востока всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты.

Математика в Древнем Египте использовалась в различных отраслях. К основным сохранившемся источникам относятся: папирус Ахмеса (84 задачи) и московский математический папирус (25 задач) оба из периода расцвета древнеегипетской культуры.

Задачи имеют прикладной характер. Они сгруппированы не по методам, а по тематике. Выполнены различные математические действия, в том числе, решение уравнений первой и второй степени с единственным неизвестным.

Математика там развивалась путём соображений, обобщений и догадок. Несмотря на это, наука начинала приобретать теоретический характер.

Уже вавилонские математические тексты преимущественно носили учебный характер. Вычислительная техника была совершеннее египетской, поэтому с решением уравнений второй степени. Ещё в эпоху Хаммурапи решались линейные и квадратные уравнения.

Несмотря на это математика Вавилона, не имела целостного характера данных, следовательно, не было доказательной базы.

Вершиной стало решение в общем виде уравнения Это было одно из главных достижений индийцев в математике того времени.

Греки также внесли существенный вклад в развитие науки древнего мира.

Архимед выполнил сложное исследование в книге сочинения «О шаре и цилиндре». Он рассмотрел задачу о рассечении шара плоскостью Данная задача сводиться к уравнению третьей степени.

В 6 в. комментатор Евтокий обнаружил, что Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений, получаемых из основной пропорции гиперболы (здесь S=pb) и параболы . Для отыскания условия существования положительных решений он рассматривает кубическое уравнение, . Положительные корни у данного уравнения будут, когда .

Решения уравнения отыскиваются как абсциссы точек пересечения. Возможны всего три случая: имеют две точки пересечения, кривые не имеют общих точек, имеют одну общую точку.

Архимед решал задачи, приводящие к кубическим уравнениям. В книге «О коноидах и сфероидах» он доказал теоремы, с помощью которых можно решать задачи. Связанные с данными фигурами. Архимед владел методом исследования и решения с помощью конических сечений кубического уравнения вида при различных значениях параметров Дальнейшая разработка этого метода сделана математиками стран ислама.

Квадратные уравнения рассматривал Сабит ибн Корра в «Рассуждении об установлении задач алгебры с помощью геометрических доказательств».

Арабы не знали решения, которое предложил Архимед для задачи о сечении шара плоскостью. Ал-Махапи впервые свёл её к уравнению вида

Арабы самостоятельно восстановили метод геометрического построения значения x, в задаче об удвоении куба. В «Книге оптики» Абу Али ибн ал Хайсама встречается задача, которая в итоге сводится к уравнению четвертой степени. Ал-Хайсам решил с ее помощью пересечения гиперболы и окружности.

Также, достижением арабов в алгебре был «Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы» Омара Хайяма. Трактат посвящён кубическим уравнениям. Он расклассифицировал на 14 видов все кубические уравнения с положительными корнями. Но этого было недостаточно [1].

17 век в алгебре, да и во всей математике, ознаменован величайшим открытием- решением в общем виде уравнений третьей и четвертой степеней. Серьёзная проблема решения уравнений третьей и четвертой степеней занимала математиков около двух тысячелетий; ее решение было подготовлено всем ходом развития науки.

Дель Ферро удалось найти решение кубического уравнения, которое имеет вид Свое решение дель Ферро опубликовал, а сообщил его своему зятю и преемнику по должности Аннибаллу делла Наве и одному из своих лучших учеников- Фиоре.

В средневековье проводились математические турниры, один из таких намечался на 12 февраля. Тарталья предполагал, что легко победит Фиоре, но, узнав, что он владеет секретом Ферро, приложил иного усилий, чтобы открыть способ решения кубических уравнений. Его старания были не напрасными. Вот его слова: «…приложил всё рвение, прилежание и искусство, чтобы найти правило этих уравнений, и это удалось за десять дней до срока, т.е. 12 февраля, благодаря счастливой судьбе».

Ко дню диспута участники подготовили по 30 разных задач, текст задач был отдан на хранение нотариусу. За каждую решенную задачу полагался приз- 5 сольди. В день диспута Тарталья в течении двух часов решил все задачи Фиоре, его противник, по слова Тартальи, не решил ни одной, даже тех, которые мог бы решить по правилу дель Ферро. Через день после диспута Тарталья решил также уравнение , .

Все это было величайшим открытием. Надо обладать достаточным мужеством, чтобы взяться за задачу, которая была не по силам выдающимся математикам около двух тысячелетий.

Но на этом изучение кубических уравнений не закончилось, и завершил построение алгоритма решения кубических уравнений Кардано. После того как были исследованы уравнения третьей степени, задача об уравнениях четвертой степени стала более легкой.

Открыл метод решения уравнений четвертой степени 23-летний ученик и воспитанник Кардано- Луиджи Феррари, который назвал себя «творением его превосходительства синьора Иеронимо».

Феррари рассматривал уравнение, не содержащее члена с т.е. уравнение вида Он преобразовал его так, чтобы в левой части был квадрат, а в правой-выражение было не выше второй степени относительно x. Таким образом, нахождение корней сводится к решению уравнения 3-ей степени [3].

Жозеф Луи Лагранж в большой работе «Размышления о решении алгебраических уравнений» рассмотрел критически все известные до него способы решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени и показал, что успех их решения был основан исключительно на обстоятельствах, которые для уравнений 5-й и высших степеней уже не имеют места.

Лагранж в своём мемуаре (стр.305, т. 3 Полного собрания сочинений) говорит: «Задача решения (в радикалах) уравнений, степени которых выше четырех, одна из тех, которую не удаётся решить, хотя ничто и не доказывает невозможности такого решения».

В 1824 г. вышла в свет работа гениального молодого норвежца Абеля, в которой дано доказательство того, что если коэффициенты уравнения считать просто буквами, то не существует никакого радикального выражения, составленного из этих коэффициентов, которое было бы корнем соответственного уравнения, если степень его Известна такая формула для уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней, а для уравнения 5-й и более высокой степени никакой такой формулы нет.

Итак, после работ Абеля положение было следующее: общее уравнение, степень которого выше четвертой, не решается в радикалах, но есть сколько угодно частных уравнений любых степеней, которые могут решаться в радикалах. Стало ясно, надо искать необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение решалось в радикалах. Этот вопрос решил французский математик Эварист Галуа.

В небольшой работе «Мемуар об условиях разрешимости уравнений в радикалах», оставшейся в его рукописях после его смерти и впервые обнародованный Лиувиллем лишь в 1846 г., Галуа распутал весь клубок трудностей, сосредоточенных вокруг теории решения уравнений в радикалах.

Получается, что условие, необходимое и достаточное для того, чтобы уравнение решалось в радикалах, заключается в том, чтобы группа G перестановок номеров удовлетворяла некоторому определенному условию [2].

Вопрос о решении алгебраических уравнений в радикалах изучался человечеством на протяжении многих веков. Учёные продвигались дальше в изучении данной темы. В итоге был достигнут колоссальный успех, который и в нынешнее время считается одним из важнейших достижений человечества в области математики.

Список использованной литературы:

Александров, А.Д. Математика, её содержание, методы и значение Т.1. / А.Д. Александров. - Изд-во академии наук СССР, 1956. – 297 с.

Никифоровский, В.А. Из истории алгебры XVI - XVII вв. / В.А. Никифоровский - Изд-во «Наука», 1979. – 211 с.

Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики. / Д.Я. Стройк - Изд-во «Наука», 1978. – 329 с.

Код для цитирования: Скопировать