XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

В данной статье рассматриваются три неразрешимые задачи, которые возникли в глубокой древности, на данный момент носящие название «знаменитые задачи древности на построение».

Известно, что искусство построения геометрических фигур с использованием циркуля и линейки было в достаточно высокой степени развито в Древней Греции. Но всё же древние геометры никак не могли выполнить определенные построения при помощи циркуля и линейки, а те построения, которые выполнялись с помощью иных инструментов, не считались геометрическими. К таким задачам относятся три знаменитые классические задачи древности, а именно: о квадратуре круга, о трисекции угла, об удвоении площади круга.

Рассмотрим подробнее каждую знаменитую задачу на построение.

1. Задача о квадратуре круга.

Это задача является одной из древнейших и наиболее популярной математической задачей, которая занимала умы людей на протяжении почти 3 – 4 тысячелетий. Задача о квадратуре круга – это задача о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, который равновелик этому кругу.

 

Обозначим радиус круга через r, тогда нужно будет построить квадрат, площадь которого равна πr2, а его сторона равна r. Сегодня известно, что число π является отношением

отношением окружности к своему диаметру. Данное число иррациональное и выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,1415926… Оно было вычислено математиком В. Шенксом с 707 десятичными знаками. Такой результат вместе с формулой вычислений ученый обнародовал в 1837 году. Много позже выяснилось, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку. Ученый вычислял, и, следовательно, он стоял в противоречии с теми требованиями задачи о квадратуре круга, где требовалось найти решение именно построением.

Следы задачи о квадратуре круга находятся в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Но постановка такой задачи встречается ещё в греческих сочинениях V в. до н.э. Об этом рассказывает Плутарх в произведении «О изгнании» и знаменитый греческий поэт Аристофан в комедии « Птицы » (414 г. до н.э.).

С

У многих ученых, кто занимался этой задачей, было сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, которая равновелика криволинейной. Такая возможность была доказана Гиппократом,

вое решение такой задачи предлагал современник Сократа – софист Антифон, однако Аристотель доказал, что это приближённое, но не точное решение задачи. Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. – Гиппократ Хиосский.

Гиппократом, который построил лунообразные фигуры (см. рисунок). Эти фигуры известны под названием «гиппократовых луночек». На основе этих фигур ученый получил, что площадь треугольника AOC ровна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника BCA. Гиппократ нашёл и другие луночки, допускающие квадрату, однако дойти до квадратуры круга, ему все же не удалось.

В 80-х годах 19 в. было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Такая задача о квадратуре круга становится разрешимой, если кроме циркуля и линейки применять, еще и другие средства построения.

2. Задача о трисекции угла.

Н

Задача о деление угла на три равные части, скорее всего, появилась из потребностей архитектуры и строительной техники. Когда составлялись рабочие чертежи орнаментов, украшений многогранных колоннад т.п., при строительстве, а также

е менее знаменитой в древности была задача о трисекции угла (слово «трисекция» происходит от латинских слов tria – три и section – разрезание, рассечение), т.е. задача о разделении угла на три равные части с использованием циркуля и линейки. Родиной данной задачи обозначают древнюю Грецию (примерно 5 век до н.э.).

внешней и внутренней отделке храмов, надгробных памятников и иных малых и больших сооружений древние инженеры, архитекторы и художники встречались с необходимостью того, чтобы уметь делить окружность на любое конечное количество равных частей, и в некоторых случаях (причем довольно часто) это приводило их к необходимости рассмотрения трисекции некоторых углов.

Древние греки довольно легко умели делить угол пополам, однако разделить угол на три равные части было не всегда возможно. Так, пользуясь циркулем и линейкой, они легко строили правильный восьмиугольник, но картина совершенно менялась, когда приходилось строить, правильный девятиугольник, поскольку в этом случае окружность нужно разделить на 9 равных частей.

Древнегреческие ученые изобретали разного рода механизмы, с помощью которых можно было без особого труда делить произвольный угол на три равные части. Но всё же перед ними всегда стоял следующий вопрос: почему трисекция угла, которая легко выполняется при помощи специально изготовленных механизмов, не разрешима при помощи циркуля и линейки?

Р. Декарт был первым, кто высказал такое предположение: трисекция произвольного угла не может быть выполнена при помощи циркуля линейки, если на последней не имеется никаких отметок. В 1837 г. П. Ванцелем было дано строгое доказательство неразрешимости такой задачи.

3. Задача об удвоении куба.

Эта задача основывается на двух легендах. Первая легенда принадлежит знаменитому греческому математику, астроному и философу Эратосфену (276-194 годы до н.э.).

Однажды на острове Делосе, находящемся в Эгейском море, вспыхнула эпидемия чумы и жители этого острова вынуждены были обратиться к знаменитому дельфийскому оракулу за помощью и советом. Оракул ответил, что, чтобы снискать милость богов, нужно удвоить золотой жертвенник богу Аполлону (богу Солнца), который имеет форму куба.

Жители Делоса отлили из золота два таких жертвенника, что был установлен в храме Аполлона, и поставили один на другой, полагая, что проблема удвоения кубического жертвенника решена. Однако чума не прекращалась, а на вопрос жителей оракул с огорчением ответил, что они не решили поставленной задачи, поскольку надо было удвоить жертвенник, не изменяя его кубической формы.

Делосцы, не в состоянии решить эту задачу, обратились за помощью к математику и философу Платону, на что он ответил, что Боги недовольны, что вы мало занимаетесь геометрией. Сам же Платон тоже не сумел решить указанной задачи при помощи циркуля и линейки. Так, эта задача стала именоваться «делосской».

Согласно второй легенде Царь Минос велел воздвигнуть памятник своему же сыну Главку. И архитекторы придали памятнику форму куба, при этом его ребро равнялось 100 локтям. Однако Минос заявил, что этот памятник слишком малый и приказал его удвоить. Не в силах решить поставленную задачу, архитекторы обратились к ученым-геометрам, но те тоже не могли решить данной задачи.

Древние греки могла достаточно легко решить задачу об удвоении квадрата. С этой целью нужно было уметь выстроить с использованием циркуля и линейки корень квадратный из двух. При этом обобщая задачу об удвоении квадрата, древние греки далее перешли к рассмотрению задачи об удвоении куба при этом также стремились решить ее при помощи циркуля и линейки. Оказалось, что решить задачу об удвоении куба можно, если построить геометрически корень кубический из двух. Но все старания построить ³√2 циркулем и линейкой, к сожалению, не увенчались успехом. А в первой половине 19 века было доказано, что при помощи циркуля и линейки, без привлечения иных вспомогательных средств, ³√2 построить невозможно.

Таким образом, попытки решить три знаменитые древние задачи при ограничивающих условиях (использование только циркуля и линейки) привели к доказательствам, что их решение невозможно. Над этими задачами думали сотни умов людей, которые пытались в течение нескольких столетий решить эти задачи. При этом было сделано огромное количество открытий, которые имеют гораздо больший интерес и значение, чем данные поставленные задачи.

Оказывается, древность завещала решение трех знаменитых задач нам, однако их решение на сегодняшний день пока не найдено.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:

Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности : пособие для внеклассной работы. — М. : Учпедгиз, 1963. — 96 с.

Код для цитирования: Скопировать