XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021
К вопросу о числах Фибоначчи и золотом сечении
КомментарииПолная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Числа Фибоначчи и золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию.
Впервые закономерность чисел Фибоначчи приводится в знаменитой «Книге об абаке» математика из Италии Леонардо Пизанского. Рассмотрим практическую задачу о кроликах из этой книги, в решении которой и используется данный числовой ряд.
«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения».
В первый месяц кроликов окажется уже две пары: одна первоначальная пара, давшая приплод, и одна родившаяся пара. Во второй месяц кроликов будет три пары: одна первоначальная, снова давшая приплод, одна растущая и одна родившаяся и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев. Но поскольку мы задали конкретный срок – год, нас интересует результат, полученный на двенадцатом «ходу». То есть тринадцатый член последовательности: 377 [2, с.8].
Получаем последовательность (1):
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … (1)
Очевидно, что два первых числа этой последовательности равны единице, а каждое следующее — сумме двух предыдущих.
Эту последовательность можно задать с помощью рекуррентной формулы (2):
un=un-1+un-2 (2)
В честь автора указанной выше задачи последовательность получила название последовательности Фибоначчи, а все её члены — числа Фибоначчи [2, с.12].
Числа Фибоначчи обладают целым рядом интересных и важных свойств. Рассмотрим ниже некоторые из них.
1. Сумма первых n чисел последовательности Фибоначчи равна разности (n + 2) числа и 1: u1+u2+...+un=un+2–1.
2. Сумма первых n чисел последовательности Фибоначчи с нечётными номерами числу с номером 2n: u1+u3+u5+...+u2n-1=u2n.
3. Сумма первых n чисел последовательности Фибоначчи с чётными номерами числу с номером 2n: u2+u4+u6+...+u2n=u2n+1–1.
4. Квадрат числа Фибоначчи равен разности произведений
n-го и (n+1)-го и n-го и (n-1)-го чисел: un2=un∙un+1-un∙un–1.
5. Сумма квадратов первых n чисел последовательности Фибоначчи равна произведению n-го и (n+1)-го чисел: u1я+u22+...+un2 = un∙un+1.
6. (n+m)-ое число Фибоначчи равно сумме произведений
(n-1)-го на m-ое и n-го на (m+1)-ое число Фибоначчи: un+m=un-1∙um+un∙um+1.
7. 2n-ое число Фибоначчи равно произведению n-ого на сумму (n - 1)-ого и (n + 1)-ого чисел Фибоначчи: u2n=un(un-1+un+1).
8. Разность квадратов двух чисел Фибоначчи, номера которых отличаются на 2 - есть снова число Фибоначчи с номером 2n: u2n=un+12-un-12.
9. Квадрат числа Фибоначчи вычисляется по формуле:
un2=un+1∙un-1+(- 1)n+1.
10. Числа Фибоначчи вычисляются по формуле Бине:
.
11. Если n делится на m, то и un делится на um.
12. Если существует хотя бы одно число Фибоначчи un, делящееся на m, то таких делящихся на m чисел Фибоначчи можно найти сколь угодно много. Ими будут, кроме un, например, числа u2n, u3n, u4n и т.д.
13. Каково бы ни было целое число m, среди первых m2 - 1 чисел Фибоначчи найдется хотя бы одно, делящееся на m.
14. Соседние числа Фибоначчи взаимно просты.
15. НОД двух чисел Фибоначчи с номерами n и m есть число Фибоначчи с номером, равным НОД (n, m): НОД (un, um) = uНОД (n, m)
16. unделится на um тогда и только тогда, когда n делится на m [2, с.40]..
Особую роль в математике играет одно из свойств последовательности чисел Фибоначчи: «Если взять две последовательные пары из ряда и разделить большее число на меньшее, результат будет постепенно приближаться к золотому сечению».
Рассмотрим золотую пропорцию на примере отрезка. Для этого разделим интервал АВ единичной длины, представленный на рисунке 1, на две части так, чтобы большая его часть являлась средним пропорциональным между меньшей частью и всем отрезком.
Рисунок 1 - Деление отрезка на части в отношении, равном золотому сечению
Исходную длину большей части отрезка обозначим через х. Становится ясно, длина его меньшей части будет равна 1 - х, и условие нашей задачи дает нам пропорцию , откуда x2 = 1 – x.
Положительным корнем этого уравнения является , так что отношения в этой пропорции равно .
Такое деление (точкойС1) называется делением в среднем и крайнем отношении. Его часто называют также золотым делениемилизолотым сечением.
Если взять отрицательный корень уравнения x2 = 1 – x, то делящая точка С2 окажется вне отрезка АВ (такое деление в геометрии называется внешним делением). Легко показать, что и здесь мы имеем дело с золотым сечением: [2, с.94].
Золотое сечение довольно часто встречается в геометрии, например, для квадрата, вписанного в полукруг, как на рисунке 2, точка С делит золотым сечением отрезок АВ.
Рисунок 2 – Вписанный в полукруг квадрат
Рассмотрим правильный пятиугольник. Его диагонали образуют правильный звездчатый пятиугольник, как на рисунке 3. Точка С делит отрезок АD золотым сечением [3, с.133].
Рисунок 3 - Пентаграмма
Золотая пропорция наблюдается и в других геометрических фигурах. Прямоугольники золотого сечения выглядят «пропорционально» и приятны на вид. Вещами такой формы приятно пользоваться, поэтому многим «прямоугольным» предметам нашего часто придается именно такая форма.
Пятиконечной звезде - около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира. Звездчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции [1, с.216].
Числовой ряд Фибоначчи широко представлен в нашей жизни: в строении живых существ, сооружений, с его помощью даже описывается устройство Галактик, закономерности исторических событий. Все это свидетельствует об универсальности математической загадки числового ряда Фибоначчи.
Числа Фибоначчи и проблема золотого сечения волнуют умы многих поколений ученых, философов, математиков, архитекторов. История золотого сечения уходит в пласты тысячелетий. В наше время трудно назвать сферу человеческой деятельности, где бы золотое сечение не находило практического использования. Золотое сечение вовсе не частный случай пропорциональной зависимости, уникальной своими закономерностями, среди прочих пропорциональных соотношений, а что оно – золотое сечение – есть феномен, пронизывающий собой все уровни организации материальных объектов, обладающих динамическими качествами, т. е. общесистемное явление.
Список литературы:
Волошинов, А. В. Математика и искусство / А. В. Волошинов. – М.: Просвещение, 2000. – 336 с.
Воробьев, Н. Н. Числа Фибоначчи / Н. Н. Воробьев. – М.:Наука, 1984. – 144 с.
Пидоу Д. Геометрия и искусство / Д. Пидоу. – Книга по требованию, 2012. – 330 с.