При автоматизированном производстве актуальным является вопрос надежности и эффективности процесса механообработки. Так как в процессе точения рабочие поверхности режущего инструмента подвергаются различным воздействиям, как механическим, так и химическим, которые уменьшают работоспособность режущего инструмента, происходит разрушение его конструктивных элементов. В результате чего снижается производительность и точность процесса точения, что в свою очередь может привести к росту процента брака и сделать производство убыточным. Рассмотрим данный процесс на основе математической модели динамики процесса точения с учетом функции контактного взаимодействия поверхностей резца и заготовки.

Для построения математической модели технологической системы необходимо ввести базовые гипотезы и допущения:

1. рассматривается только подсистема режущего инструмента;

2. режущий инструмент может совершать упругие деформационные смещения только в радиальном направлении Y(t);

3. процесс резания потенциально является возмущенным;

4. сила резания (радиальная составляющая силы резания) определяется на основании уравнения И.А. Тиме;

5. учитывается сила контактного взаимодействия между задней поверхностью режущего клина резца и обработанной поверхности заготовки, которая является нелинейной характеристикой процесса точения.

На основании выше введенных гипотез и допущений получим следующую концептуальную схему технологической системы, которая представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Концептуальная модель динамики технологической системы.

Разработаем математическую модель системы (рис. 1). Так как системы резания относятся к механическим, то наиболее целесообразно использовать уравнение Лагранжа II-го рода [1-3] для составления математической модели системы резания:

где T – кинетическая энергия всей системы, [Дж];

– обобщенная скорость i-го элемента, [мм/с];

– обобщенная координата i-го элемента; [мм];

– сумма обобщенных сил по i-ой координате, [Н].

В данной системе кинетическая энергия системы представляет собой кинетическую энергию резца

С позиции механики [1-3] скорость – это производная координаты по времени , тогда уравнение кинетической энергии системы примет следующий вид:

Найдем производные из выражения (2.3), согласно уравнению (2.1):

Подставим полученные производные в уравнение (2.1), при этом пусть обозначим как , тогда:

Найдем обобщенную силу [1-3]:

где – сила контактного взаимодействия между задней поверхностью режущего инструмента и обрабатывающей поверхностью резца, [Н];

– радиальная составляющая силы резания, [Н];

– сила диссипации подсистемы инструмента, [Н];

– сила жесткости (упругости) подсистемы инструмента, [Н].

Данные силы определяются следующими выражениями, которые известны из [2]:

где – приведенный коэффициент диссипации подсистемы инструмента, [ ];

– приведенный коэффициент жесткости подсистемы инструмента, [ ].

Сила резания определяется известным выражением И.А. Тиме [4,5]:

где – коэффициент удельного давления стружки на переднюю поверхность инструмента, [Па];

– технологически заданная подача, [мм/об];

– глубина резания, [мм].

Так как в принятой схеме технологической системы упругое деформационное смещение совершает резец только в радиальном направлении , то подача . Тогда примем, что жесткость процесса резания [кг/мм] примет следующий вид:

Раскроем выражение глубины резания:

где – заданная технологическая глубина резания, [мм];

y(t) – упругое деформационное смещение резца относительно заготовки в радиальном направлении, [мм].

Тогда уравнение силы резания примет следующий вид:

Выражение (2.14) является динамической характеристикой [6,7]. Подставляем уравнения (2.9), (2.10) и (2.14) в уравнение (2.1) и получаем:

Выполним простейшие преобразования над уравнением (2.15):

Сила контактного взаимодействия задней поверхности режущего инструмента и обработанной поверхности заготовки, может быть определена по следующей схеме [8], которая показана на рисунке 2.

а) б)

Рисунок 2 – Схема контактного взаимодействия: (а) – схема образования силы контактного взаимодействия; (б) – статистическая характеристика силы контактного взаимодействия.

Статистическую характеристику силы контактного взаимодействия можно выразить в виде следующего выражения:

где – коэффициенты, определяющие вид нелинейной статической характеристики;

- расстояние от контактирующих поверхностей инструмента и заготовки, [мм].

Для анализа необходимо выполнить линеаризацию статистической характеристики силы контактного взаимодействия разложением непрерывной функции в ряд Тейлора с последующим отбрасыванием нелинейных компонентов ряда, как это показано в [9]:

Найдем составляющие ряда:

Тогда получим:

Запишем уравнение (2.17) в вариациях относительно стационарной траектории:

где – полная координата, [мм];

– координата стационарной точки, [мм];

– вариация относительно стационарной точки, [мм].

Из [10] известно, что:

Так как стационарная точка является величиной постоянной - , то

Тогда:

Далее подставим уравнения (2.22), (2.10) и (2.21) в уравнение (2.16):

Для того, чтобы перейти к дифференциальному уравнению, записанному в вариациях относительно стационарной точки, необходимо найти уравнение стационарной точки и вычесть его из ДУ, записанного в общих координатах. Для того, чтобы получить уравнение стационарной точки , получаем уравнение стационарной точки системы:

Из выражения (2.27) получим:

Вычитаем уравнение (2.28) из уравнения (2.26) и получаем математическую модель динамики процесса точения в вариациях относительно стационарной траектории:

Статья подготовлена в рамках НИР под руководством к.т.н. Быкадора В.С.

Список литературы:

Айзерман М. А. Классическая механика. 2-е изд. — М.: Наука, 1980. — 367 с.

Никитин Е. М. Теоретическая механика для техникумов.— 12-е изд., испр.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—336 с.

Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для втузов. – 10-с изд., М.: Высшая школа, 1986.-416 с.

Бобров В.Ф. Основы теории резания металлов, М.: Машиностроение, 1975, 344 с.

Грановский Г.И., Грановский В.Г. резание металлов, М.: Высшая школа, 1985, 304 с.

Заковоротный В.Л., Флек М.Б. Динамика процесса резания. Синергетический подход, Ростов-на-Дону: Терра, 2006, 880 с.

Кудинов В.А. Динамика станков, М.: Машиностроение, 1967, 359 с.

Заковоротный В.Л. Динамика трибосистем, самоорганизация, эволюция, Ростов-на-Дону, Издательский центр ДГТУ, 2003, 502 с.

Бессекерский В.А., Попов Е.П., Теория систем автоматического управления, СПБ.: Профессия, 2007, 752 с.

Письменный Д.Т. Конспект лекция по Высшей математике: полный курс, М.: Айрис-пресс, 2009, 608 с.

Код для цитирования: Скопировать