XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Актуальность темы: графический метод, опирающийся на знания элементарных функций, удобно применять при решении задач на нахождение числа корней и на нахождение корней уравнений.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес. В данной исследовательской работе я показала как наиболее удобным способом преобразовывать уравнения . чтобы сводить к построению элементарных функций.

Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков не ограничивается только этим. В ряде случаев графики облегчают нахождение решений уравнений и неравенств, сокращая и упрощая аналитические выкладки, и часто при этом являются единственным методом решения таких задач. Данный метод может использоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств

Решением системы неравенств с двумя переменными называется пара значений этих переменных, являющаяся как решением первого неравенства, так и второго неравенства системы.

Так как для графического решения систем неравенств с двумя переменными необходимо построение графиков различных функций. Целесообразно рассмотреть некоторые важные моменты при построении графиков.

Линейная функция y=kx+b или ax+bx+c=0

При построении других функций будем пользоваться общими методами построения графиков функций.

Пусть функция задана следующим образом:

y= Af(Bx-C)+D. В этом случае необходимо знать работу каждого коэффициента. А-растяжение или сжатие по оси Оу (А>1- растяжение; 0<A<1-сжатие), А<0- переворот.

В- растяжение или сжатие по оси Ох ( В>1- сжатие; 0<B<1-растяжение).

С-сдвиг по оси ох (вправо или влево).

D-сдвиг по оси оу (вверх или вниз).

Если функция задана таким образом, что содержит модуль, то при построении графиков нужно знать следующее правило.

у = |f(x) | - чтобы построить график такой функции, необходимо построить график функции y=f(x) и участки графика, расположенные ниже оси Ох зеркально отобразить относительно оси ох в верхнюю часть плоскости Оху.

Пример

y=f(|x|) - чтобы построить график такой функции, нужно построить график функции y=f (x) только при х>0 , и отобразить зеркально относительно оси Оу.

Пример

|у|= f(x) - чтобы построить график такой функции, нужно построить график функции у=f(x) при у>0 и отобразить построенный график зеркально относительно оси Ох.

Уравнение окружности:

( х−а )²+(у−b)²= R²;

(а, b)- центр окружности

R- радиус окружности.

х²+у²=R²- центр в начале координат.

Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел ( х; у), после подстановки которых в неравенство получается истинное высказывание.

Пример 1. Решим линейное неравенство с двумя переменными.

-5х+5у+10≤0

Выразим у:

у≤ -2+2х. Построим прямую у=2х-2 и укажем область решений неравенства у≤ -2+2х

Прямая разбила плоскость на две полуплоскости, состоящих из множества точек в каждой полуплоскости, выражение -5х+5у+10, постоянный знак. Проверим знаки в каждой полуплоскости:

(0;0) -5∙0+ 5∙0+10=10

10>0

(2; -1) -5∙2+5∙(-1)+10= -5

-5<0, следовательно решением неравенства является множество точек, лежащих ниже прямой у=х-2

Пример 2. Решим неравенство

(х-1)²+(у+2)² < 9.

Рассмотрим зависимость двух переменных.

( х-1)²+(у+2)² < 9- это уравнение окружности с центром в точке (1; -2) и r=3

Решением неравенства является множество точек, лежащих внутри окружности.

То есть графическое решение неравенств с двумя переменными является часть плоскости, состоящая из множества точек, которые при подставлении в неравенство дают истинное высказывание.

Список используемых источников

Моркович, А.Г. Алгебра и начало анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2009 – 424с.

Шахмейстер,А.Х. Построение графиков функций элементарными методами: пособие для школьников, абитуриентов и учителей /А.Х. Шахмейстер – М.: МЦНМО, 2011 – 185 с.

Код для цитирования: Скопировать