XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Люди постоянно сталкиваются с предметами, имеющими форму шара. В большинстве спортивных игр (баскетбол, футбол, волейбол) используются мячи, которые по форме как раз являются шарами. Такую же форму имеют многие фрукты – яблоки, апельсины. Более того, известно, что Земля, другие планеты и звезды, большинство крупных спутников также представляют собой шары.

Важно отличать шар от сферы. Сферой называют только поверхность шара. Сам же шар является объемной фигурой, к нему относят всю часть пространства, ограниченную сферой.

Сфера и шар – это аналог круга и окружности в трехмерном пространстве. Стоит поговорить о каждой из этих фигур, выделить сходства и различия, а так же формулы, свойственные этим фигурам.

Определение сферы и шара:

Сфера – это тело вращения, которое напоминает окружность, только не на плоскости, а в пространстве. Вспомним, что же такое окружность. Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром (рис. 1).

Рис. 1. Окружность

Рис. 2. Круг

Тогда, сфера – это множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром (рис. 3).

Радиус сферы – расстояние, на которое они (точки) удалены от центра.

Рис. 3. Сфера

Рис. 4. Шар

Продолжая аналогию, шар – это круг (рис. 2) в пространстве: множество всех точек, заключенных внутри сферы (плюс сама сфера).

Шар – это множество всех точек пространства, расстояние от которых до данной точки, называемой центром, не превосходит радиуса (рис. 4).

Шар и сфера как тела вращения:

Хорда сферы – это отрезок, соединяющий две точки сферы (рис. 5).

Диаметр сферы – это хорда, которая проходит через центр сферы (рис. 6).

Рис. 5.  ,   – хорды

Рис. 6. – диаметр, – центр

Площадь сферы:

Формула для нахождения площади сферы выводится аналогично формуле для нахождения площади окружности. Берутся вписанные и описанные угольники. Устремляя к бесконечности, говорим, что периметр многоугольника стремится к длине окружности. И выводим формулу площади.

Аналогично и для сферы. Опишем сферу многогранником и будем увеличивать количество граней до бесконечности. Тогда площадь боковой поверхности многогранника будет стремиться к площади поверхности сферы. Sсф=4πR²– площадь сферы

Основные свойства сферы и шара:

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости пересечения образуется круг

Пример №1

Дано: S=64π	Так как Sсф.=4πR² , 4πR²=64π, поделив обе части уравнение на 4π, получим: R²=16, то R=4
R=?

Дана сфера, площадь которой равна 64π. Найти радиус сферы

Ответ: радиус сферы равен 4.

Пример №2

Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Дано: Rсф.=5	Решение: Площадь сферы равна Sсф=4πR². То есть Sсф=100π. По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r² =100, то есть r=10.
r=?

Ответ: радиус круга равен 10

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства:

Секущая сферы - это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Хорда сферы (шара) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Секущая плоскость - это плоскость, которая пересекает сферу. Диаметральная плоскость - это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг. Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей прямой.

Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы: d < R

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R: m < R

Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность, а на шаре местом сечения будет малый круг. Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара).

Полусфера (полушар) - это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства:

Касательная к сфере - это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Касательная плоскость к сфере - это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Формулы:

Диаметр:

Объём шара:

Объём шарового сегмента высотой Н:

Объём шарового сектора: , где Н - высота соответствующего шарового сегмента.

Сегодня мы изучили сферу - одну из важнейших геометрических фигур. Именно сферическую форму имеют планеты и звезды. Жидкость, оказавшаяся в невесомости, также принимает форму шара. Возможно запомнить, что сечение сферы имеет форму окружности

Литература :

https://ru.onlinemschool.com/math/formula/sphere/

http://www.math24.ru/сфера-и-шар.html#:~:text=Сфера%20−%20это%20геометрическое%20место%20точек,%2C%20ограниченное%20сферой%2C%

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.

Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.

Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия 11 класс.

https://interneturok.ru/lesson/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/sfera-i-shar

Код для цитирования: Скопировать