XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021
Правильные многоугольники
КомментарииПолная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Геометрия – древнейшая наука и первые расчёты производили свыше тысячи лет назад. Древние люди составляли на стенах пещер орнаменты из треугольников, ромбов, кругов. Правильные многоугольники с глубокой древности считались символом красоты и совершенства. Со временем человек научился использовать свойства фигур в практической жизни. Геометрия в быту. Стены, пол и потолок являются прямоугольниками. Многие вещи напоминают квадрат, ромб, трапецию.
Из всех многоугольников с заданным числом сторон наиболее приятен для глаза правильный многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы. Одним из таких многоугольников является квадрат или другими словами, квадрат- это правильный четырехугольник.
Правильные многоугольники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма пчелиных сот, которые представляют собой многоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. Конечно, геометрию они не изучали, но природа наделила их талантом строить себе дома в форме геометрических фигур. На этих шестиугольниках пчёлы выращивают из воска ячейки. В них пчёлы и откладывают мёд, а за тем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска.
Снежинка — одно из самых прекрасных созданий природы. Приводить примеры правильных многоугольников, встречающихся в природе, можно много.
Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.
Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников, решая задачу для n=3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея многоугольник с числом сторон (2m-1): разбивая дугу на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и т. д. Кроме того, в своей книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r* s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с 2m*p1k1*p2k2 сторонами, где m — целое неотрицательное число, p1и p2 — числа 3 и 5, а k1и k2 принимают значения 0 или 1.
Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Если брать в общем, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно 2k0p1k1p2k2…psks, где k0 — целое неотрицательное число, k1, k2 и ks принимают значения 0 или 1, а pj — простые числа Ферма.
Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в1836 году.
Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году. С тех пор проблема считается полностью решённой.
Правильный многоугольник— это такой многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.
Равносторонний треугольник и квадрат — правильные многоугольники. Если разделить окружность на п равных частей и соединить соседние точки отрезками, то получим правильный многоугольник. Вокруг всякого правильного многоугольника можно описать окружность, в него также можно вписать окружность, и центры этих окружностей совпадают.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис.1).
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
а) б)
Рисунок 1- Многоугольники
Формулу легко запомнить, если заметить, что выпуклый многоугольник можно разрезать на n − 2 треугольника по лучам, идущим от одной из его вершин, как на следующем рисунке.
Соответственно, величина каждого из внутренних углов правильного n-угольника определяется по формуле:
.
Многоугольники можно вписывать в окружность или описывать вокруг неё. Однако, это получается не для всех и не всегда. Говоря математическим языком, не всегда существует окружность, которая удовлетворяет определению.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности.
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности.
Если многоугольник вписан в окружность, то можно сказать, что окружность описана около многоугольника, или, наоборот, если многоугольник описан около окружности, то окружность вписана в него. Такие формулировки тоже встречаются в условиях геометрических задач. Чтобы не путаться запомним - вписанная фигура находится внутри описанной около неё.
Четырехугольник вписан в окружность
. Четырехугольник описан около окружности
Рисунок 2 – Вписанный и описанный четырехугольники
Кроме обычных правильных многоугольников, существуют еще и звездчатые.
Термин «звездчатый» имеет общий корень со словом «звезда», и это указывает не его происхождение. Особое внимание пифагорейцы уделяли пентаграмме – пятиконечной звезде, образованной диагоналями правильного пятиугольника или пентагона. В них пифагорейцы обнаружили знаменитое «золотое сечение», которое в те времена называлось "делением отрезка в крайнем и среднем отношении". Доказано, что точки пересечения диагоналей в пентагоне всегда являются точками золотого сечения. При этом они образуют новый пентагон FGHKL. В новом пентагоне можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще один пентагон и этот процесс может быть продолжен до бесконечности. Таким образом, пентагон ABCDE как бы состоит из бесконечного числа пентагонов, которые каждый раз образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом.
Рисунок 3 - Пентаграмма
В пентагоне можно найти огромное количество отношений «золотого сечения». Например, отношение диагонали пентагона к его стороне равно "золотой пропорции" . Если теперь рассмотрим последовательность отрезков FG, EF, EG, EB, то легко показать, что они связаны пропорцией "золотого сечения":
.
Не только лишь благодаря совершенной форме и богатству математических свойств пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа здоровья и тайного опознавательного знака. Этот символ означает торжество Воли над материей, Духа над 4 элементами материи, формирующие Душу. Человеком пентаграммы считался тот, кто сумел победить свою животную природу и таким образом добивался полной индивидуальной эволюции.
Многие основатели государств были в той или иной степени посвящены в эти мистерии, может, поэтому и сегодня пятиконечная звезда является символом едва ли не половины стран мира.
Рассмотрим несколько примеров решения геометрических задач.
Задача №1. В правильный шестиугольник ABCDEF, со стороной 6 см, вписан правильный треугольник A1B1C1. Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF.
Дано:
шестиугольник ABCDEF,
треугольник A1B1C1 - правильный
a6=6 см
Найти:
Решение.
ABCD - трапеция, так как - средняя линия трапеции по построению, см)
(см)
(см)
Ответ: .
Задача №2. Наглядно - поисковая задача. В правильный треугольник MNP вписана окружность. Отрезок NR перпендикулярен отрезку MP и пересекает его в точке K. Угол KMR=300. Найдите радиус вписанной окружности в треугольник MNP и её длину.
Дано:
правильный треугольник MNP, MR= .
угол KMR=300
Найти: OE, C (длина окружности).
Решение.
MK=KP (так как центр вписанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров к сторонам треугольника). Рассмотрим треугольник MKP. MK=MR* (см). Следовательно, MP=9 см, а OE= r,
.
Ответ: OE =
Задача 3
Найти площадь правильного многоугольника, если и .
Решение
Можно использовать формулу для вычисления площади произвольного описанного многоугольника:
Поскольку параметр, определяющий правильный многоугольник, – это его сторона (через нее мы умеем выражать все остальные необходимые нам элементы), то с нее мы и начнем.
Мы знаем, что:
Подставляем в нее известные нам из условия данные, получаем:
Тогда:
Теперь найти площадь не составит труда:
Ответ: .
Таким образом, было рассмотрено понятие правильного многоугольника. Рассмотрены виды правильного многоугольника, основные свойства правильного многоугольника, формулы, а также примеры решения задач.
Список используемых источников
Правильные многоугольники [Электронный ресурс] – URL: https://spravochnick.ru/matematika/sootnosheniya_mezhdu_storonami_i_uglami_treugolnika/pravilnye_mnogougolniki/
Правильные многоугольники [Электронный ресурс] – URL:
https://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploshchad-kruga-9241/pravilnye-mnogougolniki-9246/re-983bb30f-8304-4d02-a739-40bb351cb45d
Решение задач [Электронный ресурс] – URL: https://urok.1sept.ru/articles/556812