XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Для нахождения расстояний, высот, глубин или других размеров реальных объектов не всегда можно обойтись непосредственным их измерением - во многих случаях такие измерения сопряжены с определенными трудностями, а то и вообще практически невозможны. Однако в своей деятельности человеку приходится порой задумываться над тем, как все-таки можно определить интересующую его величину и как сделать это поточнее.

Дело в том, что основными измерительными "приборами" для вас, которые всегда имеются "под рукой", будут являться: шаг, пядь (размах пальцев), сажень (размах рук), уровень глаз (расстояние от земли до глаз) и т. д. Не менее важно следить за надежностью вашего способа, т. е. зависимостью его точности от различных погрешностей, которые неизбежно возникают при работе на местности.

Вы хотите определить длину своего шага, чтобы впоследствии измерять расстояния шагами. Самый простой и, казалось бы, точный способ состоит в том, чтобы сделать один шаг и измерить расстояние между крайними (наиболее удаленными) точками двух ступней. Такой способ явно не годится по двум причинам. Во-первых, расстояние между крайними точками ступней не равно длине шага, а превосходит ее на длину одной ступни (правильнее было бы измерить расстояние, например, между носками двух ступней). Во-вторых, при всем старании вы вряд ли сможете сделать один обычный шаг - для этого вам нужно оказаться в состоянии обычной ходьбы. Так, как же все-таки определить длину своего шага?

Решение: Достаточно пройти какое-либо заранее известное и не слишком короткое расстояние, скажем между соседними километровыми или стометровыми столбиками на шоссе, и поделить это расстояние на количество сделанных шагов.

Отметим, что средняя длина шага взрослого человека примерно равна половине его роста, считая до уровня глаз.

Измеряя какие-либо длины пальцами руки, лучше не отрывать руку от измеряемой поверхности, а приставлять один палец к другому, который затем снова вытягивать в заданном направлении (описанный процесс отдаленно напоминает движение гусеницы). Найдите длину такого размаха своих пальцев.

Решение: Проще всего отложить вдоль какой-нибудь прямой один или несколько десятков размахов пальцев, а затем поделить на их количество отложенную в результате длину.

Как по длине тени, падающей от дерева в солнечный день, определить высоту этого дерева?

Решение: Так как лучи солнца можно считать практически параллельными, то тень от дерева во столько же раз длиннее тени от какого-либо шеста, во сколько раз дерево выше шеста. Поэтому, установив вертикально шест известной высоты а и измерив отношение k длины тени от дерева к длине тени от шеста, мы вычислим искомую высоту дерева ka.

Заметим, что указанный способ не слишком надежен, так как отбрасываемая при свете солнца тень не имеет отчетливой границы из-за присущей ей неясно очерченной каймы полутени.

Вам понадобилось измерить на местности расстояние между двумя объектами, разделенными зданием или другим препятствием, не позволяющим непосредственно проложить прямую между этими объектами. Как тем не менее можно произвести указанное измерение?

Решение: Пусть А и В - данные точки на местности, между которыми определяется расстояние. Выберем точку С, из которой видны обе точки А я В (рис. 1). На продолжении отрезка АС за точку С отметим точку D на расстоянии АС от точки С. Аналогично на продолжении отрезка ВС за точку С отметим точку Е, для которой СЕ = ВС. Тогда отрезки ED и АВ равны, поскольку они симметричны относительно точки С.

Рис. 1

Если же из-за недостатка места точки Е и D выйдут за пределы досягаемости, то их можно в определенное число раз приблизить к точке С. Тогда отрезок ED будет в то же число раз короче отрезка АВ, так как треугольники ABC и DEC будут подобны.

Укажите способ, как измерить высоту дерева, не взбираясь на него и не прибегая к помощи теней.

Решение: Установив вертикальный шест на некотором расстоянии от дерева, нужно стать в такую точку, из которой верхний конец шеста загораживает в точности верхушку дерева (рис. 2). Тогда, если высота части шеста над уровнем глаз равна а, а расстояния от глаз по горизонтали до шеста и до дерева равны b и y соответственно, то из подобия треугольников можно найти высоту х дерева над уровнем глаз. Наконец, зная свой рост h до уровня глаз, получаем полную высоту дерева

Рис. 2

Заметим, что вычисления и измерения можно упростить, если добиться равенства b = a, которое достигается выбором места установки шеста. Кроме того, можно лечь на землю, что позволит считать h = 0, а в результате высота дерева окажется равной x = y.

Перед вами раскинулся огромный пруд круглой формы, обойти который по окружности вы не можете из-за имеющихся на его берегу различных препятствий в нескольких местах. Кроме того, вам представляется затруднительным измерять расстояние между какими-либо точками, если только соединяющий их отрезок проходит над водой. Можно ли при таких ограничениях измерить диаметр пруда?

Решение: Встав в точку А на некотором расстоянии от пруда (рис. 3), можно расположить перед собой горизонтальную палку длины а так, чтобы расстояния от обоих ее концов до одного глаза (второй глаз при этом лучше закрыть) были равны одному и тому же значению b, а сами концы палки зрительно совместились с крайними точками пруда, видимыми из точки А. Тогда, измерив расстояние у от А до ближайшей точки пруда по прямой, проходящей через середину палки, можно вычислить радиус х пруда, а значит, и его диаметр 2х. Действительно, из подобия соответствующих прямоугольных треугольников находим

откуда 2bx = ах + аy, т. е.   Заметим, что если добиться равенства b = а (что достигается выбором точки A), то коэффициент при y в последней формуле будет равен 1, а искомый диаметр пруда окажется равным 2x = 2y.

Рис. 3

Вы хотите узнать, на какой высоте находится шпиль, расположенный на здании, внутри и вблизи которого измерения затруднительны. Как, не приближаясь к зданию вплотную, измерить высоту шпиля?

Решение: Установим вертикальный шест на некотором расстоянии от здания и станем в такую точку, из которой верхушка шпиля зрительно совмещается с верхним концом шеста (рис. 4). Затем, пройдя некоторое расстояние в направлении от здания по прямой, на которой лежит первая точка и проекция А шпиля на горизонтальную плоскость, еще раз проделайте такую же операцию. Пусть высота шеста над уровнем глаз равна а, расстояние от глаз до шеста в первом положении оказалось равным b, а во втором с. Тогда, измерив расстояние у между точками В и С, в которых мы стояли в первом и во втором случаях, можно сосчитать высоту х шпиля над уровнем глаз. В самом деле, обозначим через z расстояние между точками А и В. Из подобия соответствующих треугольников имеем

откуда bx = az, cx = az + ay и cx - bx = ay, т. е.

Рис. 4

Коэффициент при y в последнем равенстве можно сделать равным 1, если в первом положении шеста добиться равенства b = а, а во втором - равенства с = 2а.

Вы хотите узнать расстояние до высокого здания, которое можно увидеть прямо со двора вашего дома. Естественно, в городских условиях непосредственно пройти к зданию по прямой линии вам не удастся. Более того, свои геометрические построения вы можете осуществлять лишь на сравнительно небольшой площадке перед домом. Укажите способ для определения искомого расстояния.

Решение: Для нахождения расстояния от данной точки В до недоступной точки А можно использовать построения, аналогичные приведенным в решении задачи 10.11 с той лишь разницей, что точки Е и F на рис. 19 следует выбрать ближе к точке D, т. е. на расстоянии, в одинаковое число раз меньшем длин отрезков BD и CD соответственно. Во столько же раз отрезок GE окажется меньшим отрезка АВ, что вытекает из подобия (а не равенства, как это было в решении задачи 10.11) треугольников BAD и EGD.

Вы находитесь на одном берегу реки, а на другом, недоступном для вас берегу расположены два объекта. Как вас берегу расположены два объекта. Как измерить расстояние между ними?

Решение: Путь А и В - недоступные точки, между которыми надо найти расстояние. Выберем на некоторой прямой три точки D, Е и F так, чтобы выполнялось равенство DE = EF (рис. 5). При этом заранее побеспокоимся о том, чтобы точка С пересечения прямых AF и BD оказалась доступной и лежала с той же стороны от прямой DF, что и отрезок АВ: этого можно достичь уменьшением отрезка DF и переобозначением его концов. На продолжении отрезка СЕ за точку Е отметим точку G на расстоянии СЕ от точки Е. Далее найдем точку Н пересечения прямых DG и АЕУ а также точку К пересечения прямых FG и BE. Тогда искомое расстояние будет равно КН. Действительно, при преобразовании симметрии относительно центра Е точка С переходит в точку G, точка D - в точку F, прямая CD - в прямую GF, прямая BE - в себя, а точка В пересечения прямых CD и BE - в точку К пересечения GF и BE. Аналогично точка Л при этом преобразовании переходит в точку H, поэтому отрезок НК симметричен отрезку АВ относительно точки Е.

Рис. 5

Попытки вычислить расстояние Земля-Солнце предпринимались с древних времён

Первым из известных людей, применивших геометрию для оценки расстояния Земля-Солнце был древнегреческий астроном Аристарх Самосский (310-230 гг. до н.э.). Принцип его рассуждений был верен, однако измерения оказались ошибочны.

Ещё один древнегреческий учёный Эратосфен (276-194 гг. до н.э.) выражал вычисленное значение в древних единицах измерения - стадиях. Однако из-за разногласий в пересчётах стадия в метры невозможно наверняка утверждать о верности полученных им результатов.

Первое точное и научно обоснованное измерение расстояния Земля-Солнце выполнил итальянский астроном Кассини в 1672 по движению Марса. 100 лет спустя серия наблюдений за Венерой дала ещё более точное значении.

Как астрономы вычислили расстояние от Солнца до нашей планеты, размер Солнца, или скорость движения Земли по орбите вокруг него? Очевидно, что ответ на один из этих вопросов объяснит и другие. Но как можно найти ответ на первый?

В первую очередь, чтобы вычислить расстояние Земля-Солнце (обозначим A) необходимо найти относительные расстояния между Землёй и другими планетами.

Иллюстрация: Nasa/Public Domain / Венера и Земля

Рассмотрим орбиту Венеры. В первом приближении орбиты Венеры и Земли представляют собой идеальные круги вокруг Солнца, причём находящиеся в одной плоскости.

Взгляните на рисунок ниже:

Иллюстрация: ToPro/Public Domain

По схеме становится ясно, что есть две точки, в которых угол Солнце-Венера-Земля составляет 90°. В этих точках угловое расстояние между Венерой и Солнцем достигает максимально возможного значения, при наблюдениях с Земли.

Если посмотреть на движение Венеры относительно Солнца, то можно заметить, что она сначала отдаляется до определённого предела, а затем снова начинает двигаться к Солнцу.

Зная угол Солнце-Земля-Венера (обозначим e) по тригонометрическим формулам несложно определить расстояния:

Земля-Венера = A x cos (e)

Венера-Солнце = A x sin (e)

Максимальное угловое расстояние Солнце-Венера 46°. Отсюда расстояние Солнце-Венера составляет 72% расстояния Солнце-Земля.

Список используемых источников:

1. Сергеева, И. Н. Примени математику. / И.Н. Сергеев - Москва: Наука, 1989 - с.240.

2. Статья по математике на тему: "Задачи с измерениями при различных ограничениях" [Электронный ресурс] – URL: https://findout.sHYPERLINK "https://findout.su/5x31523.html"uHYPERLINK "https://findout.su/5x31523.html"/5x31523.html (дата обращения 10.12.2020)

3. Практическая интерпретация геометрического знания. Задача Фалеса Милетского / Д. А. Красюк, Т. Н. Хлыстов, И. В. Пензина [и др.]. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2019. — № 6 (26). — С. 42-47. — URL: https://moluch.ru/young/archive/26/1553/ (дата обращения: 10.12.2020)

Код для цитирования: Скопировать