XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Необходимость рассмотрения преобразований в радикалах заключается в возможности выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления. Значение радикала и его применение обширно. Например, изучив квадратный корень, мы можем решать задачи не только по математике, но и по физике (с формулами, при вычислении которых необходим радикал). Если же мы решим познакомиться с химией, мы узнаем о реакциях взаимодействия свободных радикалов не только на природу, но и на организмы человека и животных.

Знак квадратного корня используют школьники и студенты, преподаватели и репетиторы по математике, доктора наук и академики. Однако не все знают, что современная форма () появилась не сразу. Эволюция знака радикала длилась почти пять веков, начиная с в далекого XIII в., когда итальянские и некоторые европейские математики впервые называли квадратный корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R (отсюда произошел термин «радикал», которым принято называть знак корня). Некоторые немецкие математики XV в. Для обозначения квадратного корня пользовались точкой. Эту точку ставили перед числом, из которого нужно извлечь корень. Позднее вместо точки стали ставить ромбик, впоследствии знак и над выражением, из которого извлекается корень, проводили черту. Затем знак и черту стали соединять.

Радикал – это знак извлечения арифметического корня, а также число или выражение, являющееся результатом извлечения корня.

Иррациональными выражениями называют выражения, содержащие операцию извлечения корня. Другими словами, иррациональные выражения – это выражения с радикалами (выражения, содержащие в своей записи знаки корня).

При определении области допустимых значений иррационального алгебраического выражения следует учитывать, что выражения, находящиеся под знаком радикала четной степени, не должны быть отрицательными. При отыскании численных значений выражения при данных буквенных значениях параметров корни четной степени понимаются в арифметическом смысле.

Математическая запись определения

Свойства корней n-й степени

^при

, ^при

, ^при

, ^при

, ^при

^при

Рассмотрим примеры упрощения выражений в радикалах.

Чтобы избежать распространенных типовых ошибок, обратим внимание на некоторые моменты.

Верно ли, что

^при

Неверно, т. к., например, при получаем неверное числовое равенство

^при

Неверно, т. к., например, при получаем неверное числовое равенство

В данном случае верна формула:

:

Приведенная формула справедлива для любого четного показателя степени.

Для нечетного показателя степени имеем следующую формулу:

Приведем еще одну важную формулу:

Одно из важнейших преобразований иррациональных выражений состоит в следующем: выражение под знаком корня можно заменить тождественно равным выражением.

Это утверждение дает возможность работать с подкоренными выражениями. Например, оно позволяет сумму под корнем в выражении заменить ее значением, то есть, перейти к корню. Другой пример: иррациональное выражение можно заменить тождественно равным ему выражением.

Это преобразование возможно, потому что не существует числа a1, отличного от a, для которого справедливо равенство, это равенство возможно лишь при a=a1. Также мы знаем, что значения тождественно равных выражений a и a1 равны при любых допустимых значениях переменных.

Рассмотрим примеры преобразованийвыражения в радикалах.

Подводя итог, мы знаем, что с иррациональными выражениями, как и с выражениями других видов, можно проводить любые из основных тождественных преобразований, будь то раскрытие скобок, группировка и приведение подобных слагаемых и т.д. Так как в основе этих преобразований лежат такие свойства действий с числами, которые являются общими для чисел разных видов. Также при проведении преобразований иррациональных выражений сохраняется принятый порядок выполнения действий.

Список используемых источников

Колмогоров А.Н. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник / Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др.  -М.: Просвещение, 2008. -384 с.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень. 11 кл.: учебник / Г.К. Муравин, О.В. Муравина. - 5-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2018. – 321 с.

Моркович, А.Г. Алгебра и начало анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2009 – 424с.

Код для цитирования: Скопировать