XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Формула бинома Ньютона для целых положительных показателей была известна задолго до Исаака Ньютона, но он в 1676 году указал на возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя. Строгое обоснование указанных Ньютоном возможностей дал Н. Абель в 1826 году. В случае дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, а правая часть формулы получает бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Бином Ньютона играет роль во многих областях математики, в частности в алгебре и теории чисел.

Бином Ньютона — алгебраическая формула разложения произвольной натуральной степени двучлена (a+b)n в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» (a+b)2 и «куба суммы» (a+b)3,но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности, с которыми не так просто справиться, но в этом нам помогает «Бином Ньютона».

С натуральным формула Бинома Ньютона имеет вид:

,

где - биноминальные коэффициенты, где есть по , а символ «!» является знаком факториала.

В формуле полного квадрата суммы просматривается формула бинома Ньютона, так как при является его частным случаем.

Правую часть бинома называют разложением , а выражение - ым членом разложения, где .

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Общий вид бинома Ньютона:

Действительно, эта формула верна и доказать её можно с помощью метода математической индукции.

Для доказательства формулы бинома Ньютона нам понадобятся следующие свойства биномиальных коэффициентов:

Перейдём к доказательству формулы бинома Ньютона

Во-первых, формула верна для В этом легко убедиться, подставив соответствующее значение .

Во-вторых, запишем её для :

Используя эту формулу, найдём выражение для

Приведём подобные слагаемые:

Используя свойства биномиальных коэффициентов, получим следующий вид:

То есть из формулы второго шага следует последняя формула, следовательно, формула бинома Ньютона верна для любых натуральных

Формула бинома доказана. Для полного понятия использования формулы рассмотрим примеры.

Пример 1. Записать разложение

Решение.

В разложении шесть членов, так что достаточно выписать первые три биномиальных коэффициента. В результате получаем^

Пример 2. Выписать коэффициент при в многочлене .

Решение. Разложение P(x) по биному Ньютона выглядит следующим образом:

Пример 3. Доказать, что значение выражения при натуральном , делится на 16 без остатка.

Решение. Представим выражение в виде и воспользуемся биномом Ньютона. Тогда получим, что

Из полученного выражения видно, что исходное выражение делиться на 16 без остатка.

Список используемых источников

Большая Советская Энциклопедия БСЭ, 1964. [Электронный ресурс] – URL: https://litlife.club/books/106169/read?page=11 (дата обращения 20.12.2020)

Статья по математике на тему: «Бином Ньютона» [Электронный ресурс] – URL: https://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg31.html (дата обращения 19.12.2020)

«Бином Ньютона» [Электронный ресурс] – URL: http://wiki.laser.ru/be/bse/001/008/082/931.htm (дата обращения 18.12.2020)

Код для цитирования: Скопировать