Числа: от натуральных до комплексных - Студенческий научный форум

XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Числа: от натуральных до комплексных

Муратов И.Д. 1, Борисанова А.А. 1
1Коломенский Институт (филиал) Московского Политехнического Университета
 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Числа. Так ли много мы знаем о них? Этим вопросом задавались математики всех эпох, начиная с Пифагора. И ведь действительно, если углубиться в эту тему и разобраться в ней, то перед нами открывается огромное поле для новой деятельности.

Сейчас, в XXI веке цифры окружают нас повсеместно. Можно даже сказать о том, что они определяют все, что есть вокруг нас. Каждый гражданин РФ имеет паспорт, у которого есть свои серия и номер. Каждый также имеет ИНН – индивидуальный номер налогоплательщика, состоящий из 12 чисел для физических лиц и из 10 для юридических лиц. Если взглянуть на этот вопрос масштабнее, то на глобальном уровне мы столкнемся с такими параметрами, как объем ВВП или индекс человеческого развития (ИЧР), определяющие степень развития стран.

История развития цифр

Люди на каждом этапе своего развития задавались вопросами о числах и старались искать ответы на них. Если говорить об истории развития цифр и, следовательно, чисел в целом, то можно понять, что процесс их возникновения довольно долог и своими корнями уходит во времена древнего Египта. Например, египтяне обозначали единицу палочкой, а для обозначения сотни они использовали символ священного животного – кошки.

Огромный вклад в развитие цифр ввели древние шумеры. Ими была изобретена позиционная запись числа (прим: позиционная система записи – система, при которой значение каждой цифры зависит от её разряда). Стоит отметить, что этой системой счисления мы пользуемся и по сей день при исчислении времени (1 час – 60 минут, 1 минута – 60 секунд).

В свою очередь, наши предки-славяне использовали одну их самых сложных систем записи чисел. Все дело в том, что славяне записывали их в виде букв, над которыми ставили специальный значок, который они называли «титло». Тем самым они понимали, где именно написана буква, а где цифра.

То есть, по сути, мы можем увидеть, что человечество на ранних этапах своего развития старались придумать различные способы записи цифр и чисел. Но человечество развивалось, а вместе с ним развивалось и его хозяйство, а, следовательно, усложнялись и подсчеты. Перед человеком появилась острая потребность в записи чисел. Историки сообщают о том, что первые числа были изобретены шумерами – народом, жившим на территории Южного Междуречья Тигра и Евфрата, современного Ирака примерно в IV-III тысячелетии до н.э. История гласит, что на глиняных табличках они выдавливали клинообразные черточки, а после изобрели знаки. К примеру, некоторые знаки означали 1 и 10, которые, возможно, и стали одним из прародителей арабских цифр, которые мы используем по сей день.

Стоит напомнить, что сама шумерская цивилизация была одной и самых развитых для тех времен. Поскольку территория Киэнги находилась между двух величественных рек, земледельцы научились строить оросительные системы, что помогло накапливать воду. Большое количество продуктов питания способствовало появлению торговцев и ремесленников, а это, в свою очередь, повлекло образование густонаселенных городов. Важной необходимостью было использование счета, для которого они применяли глиняные фишки разнообразных форм. Развивая свою счетную систему, шумеры немного изменили форму записи и начали зарисовывать контуры тех предметов, которые подвергаются счету. То есть, если человек считал количество мешков, то на табличке появлялись очертания этих самых мешков.

Позже появились числа 1, 2, 3,..., которые помогали человеку сосчитать количество овец в его имении или сколько яблок он сегодня собрал. Именно эти числа через некоторое время стали называть натуральными, то есть числа, возникшие естественным образом при подсчете чего-либо. Гораздо позднее появился ноль, который обозначал, что предметов, которые нужно посчитать, просто нет, их полное отсутствие.

Однако, самым важным прорывом в области счета и вычислений стали римский цифры. Именно те, которые каждый из нас видел с самого детства на школьной доске, такие простые, но строгие, впервые использовались за 500 лет до нашей эры, но актуальные и по сей день. Можно с уверенностью утверждать, что эти цифры проделали долгий путь через века, были написаны триллионы раз студентами, профессорами и великими научными деятелями. Такая востребованность объясняется не только их простотой и удобностью, но и влиятельным положением Римской Империи в прошлом.

Несомненно, изобретение такой легкоузнаваемой и четкой системы подсчета было крайне удачным для римлян. Дойдя до нашего времени, символы остались практические неизменными не только благодаря вышесказанному влиянию Рима на государственной арене, но и потому, что Империя не просто подчиняла себе завоеванные народы, а перенимала их культурные особенности, таким образом, создавая синтез культур.

Сразу можно обратить внимание на алфавитное обозначение цифр – это главная черта аттической системы. Цифра V (5) – прототип ладони с раскрытыми пятью пальцами. Стало быть, Х (10) – две ладони. Палочками указывали единицы, а для сотен и тысяч предназначены прописные буквы алфавита.

В Индии, в V веке появляется другая, но от этого не менее знакомая система записи – арабская. Именно ее мы используем в нашей повседневной жизни. Это набор из девяти цифр, от 1 до 9. Логика записи была проста и крайне понятна. Каждая цифра записывалась так, чтобы ей соответствовало определенное количество углов, то есть в цифре 1 – один угол, в цифре 2 –два угла и так далее до 9. Ноль, как мы сказали немного выше, появился позже, первое упоминание о нем датируется IX веком. Вместо него, на заре создания арабской системы счисления просто оставляли пустое место.

Но почему же такие известные цифры придумали индийцы, а называется она арабской? Объясняется это просто: арабы переняли индийскую систему ведения счета и применяли ее. В те времена мусульманский мир был крайне развит, поэтому он имел близкие связи с азиатской и европейскими культурами, а значит, брал от них все самое передовое и совершенное на то время.

Индийская нумерация получила широкую известность в Европе благодаря математику Мухаммеду Аль-Хорезми, который в IX веке написал обширное руководство об этой системе. Через 300 лет, в XII веке, оно попало в Европу и уже там обрело небывалую востребованность. Именно потому, что эти цифры и руководство по ним пришло к нам от арабов, мы и называем их арабскими, а не индийскими.

Стоит отметить, что само слово «цифра» уходить корнями в арабский язык. Арабы перевели индийское слово «сунья», и так получилось слово «цифра».

Кстати, арабская система счисления является позиционной. Это говорит нам о том, что значение числа полностью зависит от его положения в записи. Например, в числе 26, цифра «6» обозначает 6 единиц, а цифра «2» определяет 2 десятка. Именно позиционные системы счета считаются более совершенными и удобными на сегодняшний день.

Отрицательные числа.

Но ведь стоит понимать и тот факт, что на этом люди не остановились и во II веке до н.э. в Китае открыли отрицательные числа. Так, древние китайцы считали, что отрицательные числа это есть «долг», а положительное считали «имуществом». При этом не существовало такой системы обозначений, которую мы используем в современном мире, когда для обозначения отрицания мы просто ставим знак минус перед числом. Тем самым при записи китайцы обозначали положительные числа красным цветом, а отрицательные – черным.

Первое упоминание отрицательных чисел мы находим в трудах китайского исследователя и ученого Чжан Цяня «Математика в девяти главах». Так, в своем трактате Чжан Цянь рассуждает об отрицательных числах, но историки склоняются к версии, что эти труды не принадлежат ему целиком, а являются лишь заимствованными. К сожалению, узнать истинное происхождение отрицательных чисел до сих пор не представляется возможным.

Как уже было сказано ранее, для изображения положительного и отрицательного количества использовали разные цвета. Положительное количество в китайской математике называли «чен», а отрицательное – «фу».

Далее, в V-VII веках отрицательные числа были распространены на территории Китая и Индии, но если в Китае к ним относились осторожно, то в Индии ситуация складывалась ровным счетом наоборот. Индийцы активно использовали их в своих вычислениях и числа не казались чем-то непонятным. Известный индийский ученый Брахмагупта в своем трактате «Разъяснение совершенной системы Брахмы» подробно изложил принятые на тот момент времени операции по работе с отрицательными числами.

Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие «ноль», что в переводе с латыни означало пустоту, отсутствие числа. Тем самым индийцы смогли создать десятеричную систему счисления. Но ноль не получил широкого признания и лишь через X веков, в XVII столетии благодаря Рене Декарту и его системе координат ноль становится числом.

В свою очередь в Европе признание отрицательных чисел наступило в XIII веке благодаря Леонарду Пизанскому (Фибоначчи), которые тоже ввел их для решения финансовых задач и подсчета долгов. Исходя из китайской системы, где отрицательные числа – «долг», а положительные – «имущество», Фибоначчи пришел к мысли, что отрицательные числа стоит рассматривать как полную противоположность положительным.

Но современные обозначения положительных и отрицательных чисел были предложены немецкий математиком Иоганном Видманом в 1489г. При выполнении расчетов он уже использовал числа со знаками «+» и «-».

Чуть позднее, в 1544 году, немецкий ученый Михаэль Штифель написал «Полную Арифметику», в которой активно использовал записи как положительных, так и отрицательных чисел. Обозначались они подобным образом: запись числа -7 была представлена как 0-7, а числа 2 как 0+2. После трудов Штифеля ученые стали использовать отрицательные числа гораздо увереннее.

Следующий виток в развитии отрицательных чисел был положен французским ученым Рене Декартом в XVII веке, когда он изобразил отрицательные числа на числовой прямой слева от нуля. В его трудах они получили настоящее истолкование, а Декарт и его последователи признавали эти числа наравне с положительными. Но так или иначе некоторые действия над отрицательными числами, например, умножение или деление, все равно оставались непонятными, ввиду чего часть ученого сообщества того времени все ещё не желала признавать их. Ввиду этого между учеными разгорелся спор о сущности отрицательных чисел, который продолжался на протяжении 200 лет. И все же в начале XIX века ученые по всему миру поняли всю важность этого открытия и с тех пор отрицательные числа получили всеобщее признание.

Иррациональные числа

Следующим этапом развития чисел стали иррациональные числа. Иррациональное число – это вещественное число, которое не является рациональным, то есть которое не может быть представлено в виде дроби , где m – целое число, а n – натуральное число. Иррациональное число было открыто в Древней Греции при попытке установить соотношение между диагональю квадрата и его стороной. Учение Пифагора, называемое еще школой пифагорийцев, стала одной из главных наследий великого ученого. Само учение этой школы представляет собой идею того, что вся вселенная является образцом «идеального порядка», или космосом. В свою очередь весь мир, по мнению пифагорийцев, можно представить в виде рациональных чисел. Собственно, именно эта идея и стала причиной открытия иррациональных чисел. По одной из легенд ученик Пифагора Гиппас пытался найти альтернативу, то есть рациональное число, которое получается из . В итоге спустя некоторое время он приходит к мысли о том, что не является рациональным числом, а это значит, что учение Пифагора носит ошибочный характер, так как не все в этом мире можно представить в виде рационального числа. В итоге Пифагор не смог найти контраргументы на слова Гиппаса, за что приговорил своего ученика к смерти.

Действительные числа

Действительные числа – это множество рациональных и иррациональных чисел. Действительные числа как таковые были открыты французским математиком Рене Декартом в начале XVII веке. Согласно его теории, любые числа можно представить в виде бесконечных десятичных дробей. Затем идею о бесконечном представлении продолжил развивать британский ученый Исаак Ньютон. Подробно об исследовании он написал в своей книге «Всеобщая арифметика»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Затем в XVIII веке российский ученый Леонард Эйлер и немецкий физик Иоганн Ламберт продемонстрировали, что всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом. И наконец, в 70-х годах XIX столетия, определение действительного числа было уточнено на основе анализа понятия непрерывности немецкими математиками Рихардом Дедекиндом, Георгом Кантором и Карлом Вейерштрассом.

Комплексные числа

Комплексные числа, как и иррациональные, сначала признавали не везде. В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений перед математиками встала острая необходимость извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Если кубическое уравнение имеет один действительный корень, то оно решается без проблем, но когда оно имеет три действительных корня, то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Ситуация складывалась таким образом, что для получения корней необходимо было прибегнуть к извлечению квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 3-й и 4-й степени, математики начали искать формулу для решения уравнений 5-й степени.

Но в 1830 году французский математик Эварист Галуа доказал, что невозможно алгебраически решить уравнение, степень которого больше, чем 4.

Но при своей жизни российский ученый Леонард Эйлер выдвинул теорию о том, что комплексные числа являются алгебраически замкнутыми относительно всех алгебраических операций. То есть не существует таких алгебраических операций над комплексными числами, которые невозможно было бы решить, не выходя за пределы комплексных чисел. Также при решении комплексных уравнений при обозначении единицы он предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения мнимой единицы.

И первое строгое доказательство этого факта сумел получить Карл Фридрих Гаусс в 1799 году. Он доказал, что любой многочлен степени n с комплексными корнями всегда имеет n корней, которые в общем случае также являются комплексными. Гаусс также ввел в употребление термин «комплексное число». Слово комплекс (от лат. сomplexus) означает связь, сочетание.

В конце XVIII века французский математик Жозеф Луи Лагранж сумел доказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с константами. Ещё раньше швейцарский математик Якоб Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

И хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, как, например, в области картографии или гидродинамики. Но несмотря на это комплексным числам не были логически обоснованы. Ввиду этого французский ученый Пьер-Симон Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, являются только наведением, приобретающим характер настоящих истин лишь после подтверждения доказательствами.

Литература

История возникновения чисел [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://sites.google.com/site/cislafibonaci/istoria-vozniknovenia-cisel
10/12/2020.

История чисел [Электронный ресурс]. Режим доступа: (http://lubopitnie.ru/istoriya-chisel/) 10/12/2020

Древние цифры и числа [Электронный ресурс]. Режим доступа: (https://dengivsetakipahnyt.com/o-dengah/drevnie-chisla-i-cifry.html) 15/12/2020

История возникновения отрицательных чисел [Электронный ресурс]. Режим доступа: (http://lubopitnie.ru/istoriya-vozniknoveniya-otritsatelnyih-chisel/) 15/12/2020

История отрицательных чисел [Электронный ресурс]. Режим доступа: (https://pandia.ru/text/78/476/66633.php) 15/12/2020

История возникновения отрицательных и положительных чисел [Электронный ресурс]. Режим доступа: (https://school-science.ru/2/7/30317) 16/12/2020

Иррациональные числа [Электронный ресурс]. Режим доступа: (http://www.psciences.net/main/sciences/mathematics/articles/irrazionalnye-chisla.html). 16/12/2020

История действительных чисел [Электронный ресурс]. Режим доступа: (https://studbooks.net/2301048/matematika_himiya_fizika/istoriya_deystvitelnyh_chisel). 18/12/2020

История возникновения комплексных чисел и их роль в науке и технике [Электронный ресурс]. Режим доступа: (https://articlekz.com/article/13193). 22/12/2020

Просмотров работы: 27