XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Уравнения и неравенства являются фундаментальными понятиями математики. Существует много видов уравнений и неравенств; линейные, логарифмические, тригонометрические и т.д. Способы решения различных уравнений и неравенств представляют особый интерес. В рамках данной статьи рассмотрим иррациональные уравнения, неравенства и их системы.

Уравнение или неравенство называется иррациональными, если они содержат переменную под знаком корня (квадратного, кубического и т.д.).

При решении иррациональных уравнений, неравенств и их систем нужно учитывать область допустимых значений (сокращённо ОДЗ). ОДЗ – есть множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения, неравенства имеют смысл.

Задача 1. Решить уравнение

Решение. Для начала найдём область допустимых значений (ОДЗ):

, то есть .

При таких значениях x правая часть нашего уравнения неположительна, а левая – неотрицательна. Следовательно, равенство возможно лишь в том случае, когда обе части обращаются в нуль одновременно, то есть при х=2.

Бывают равносильные уравнения, при которых необязательно искать ОДЗ. Так, например, уравнения вида .

Задача 2. Решить уравнение

В силу монотонности функции подкоренные выражения должны быть равны: , откуда . Однако подстановка этого значения х в уравнение даёт отрицательные числа под знаком квадратного корня; следовательно, не является корнем данного уравнения, и потому оно не имеет решений.

Рассмотрим уравнения вида , не требующее нахождение ОДЗ.

Здесь возможны два случая: 1) В = 0, при этом А определено; 2) А = 0, при этом В ≥ 0.

Задача 3. Решить уравнение

Решение.

Решением первого уравнения будет х = -1. Решением системы будет х = 2.

Ответ: -1, 2.

Существуют и другие виды уравнений (; ), не требующее нахождение ОДЗ.

Замена – один из способов решения уравнений и неравенств.

Замена нужна, чтобы легче решить задачу и не путаться в громоздких расчётах корней.

Задача 4. Решить уравнение

Решение. Производим замену: , тогда и , причём .

, .

Условию удовлетворяет только . Производим обратную замену:

.

Ответ: .

Для этого способа характерна такая особенность, как отсечение лишних корней на этапе «переменной t». При решении иррациональных систем уравнений и неравенств также можно использовать замену.

При решении иррациональных неравенств тоже стоит учитывать ОДЗ. Иногда именно область допустимых значений является ключом решения задачи. Однако ответом будет уже промежуток. В редких случаях ответом является число.

Задача 5. Решить неравенство

Решение. Квадратный корень принимает только неотрицательные значения. Данное неравенство выполнимо только тогда, когда . Иными словами, множеством решений данного неравенства будет его ОДЗ:

Ответ: [-2; 1]

Задача 6. Решить неравенство

Решение. Находим область допустимых значений:

ОДЗ состоит из одного-единственного числа, поэтому достаточно подставить в неравенство и проверить, выполняется ли оно.

Ответ: 3.

При решении систем используются такие методы как: замена переменных, различные преобразования уравнений.

Задача 7. Решить систему уравнений

Решение. Производим замену

,

Заметим при этом, что

6y – 26x = 4(y – x) – 2(11x – y) = 4 – 2 .

Таким образом, система переписывается в виде

Выражаем u из первого уравнения: , и подставляем во второе; приходим к уравнению

.

Значение отпадает ввиду условия , а значению соответствует . Производим обратную замену:

Откуда .

Ответ: .

Таким образом были рассмотрены понятия иррациональных уравнений и неравенств, которые изучаются в школе, а также в профессиональных учебных заведениях. Рассмотрены примеры решения уравнений и неравенств, систем, виды равносильных уравнений, а также метод замены.

Список используемой литературы

Статья по математике на тему: «Иррациональные уравнения и системы» [Электронный ресурс] - URL: https://mathus.ru/math/irrurs.pdf (дата обращения 20.12.2020)

Статья по математике на тему: «Иррациональные неравенства» [Электронный ресурс] - URL: https://mathus.ru/math/irraner.pdf (дата обращения 21.12.2020)

Код для цитирования: Скопировать