XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Введение

Отрицательные или «левые» среды - это двух- или трехмерные периодические структуры. Состоят из диэлектрика с мелкими металлическими вкраплениями, представленных в двух разновидностях. Первой будеттонкие металлические антенны, взаимодействующие с электрической составляющей падающего поля. Второй представлены антенны (колечки) с прорезями, взаимодействующие с магнитной компонентой поля. Они обязательно располагаются в пространстве в строгом порядке, образовывая решетку с периодом, который меньше длины волны падающего излучения. Групповая и фазовая скорости могут быть направлены под разными углами и даже противоположно друг к другу в данных периодических структурах.

Для того чтобы описать распространение волн, а среде, основным соотношением, нужно использовать уравнение Максвелла и соотношения, характерные для свойств среды

(1)

где B, H, D, E – вектора индукции и напряженностей магнитных и электрического полей, соответственно; ε₀, µ₀ – электрическая и магнитная постоянные.

Представим магнитную и электрическую проницаемость в виде

(2)

(3)

коэффициент p = ±1 [1].

Предположим, что, в среде, в направлении оси z, распространяется плоская монохроматическая волна и все ее величины изменяются по закону exp (i(ωt − kz)).

Используя вышенаписанное соотношение и уравнение Максвелла, для волны получим выражения, описывающие связь между Е, Н и волновым вектором k[2]:

(4)

Из соотношений (4) видно, что при p = +1 (ε, µ > 0), векторы k, E и H образуют правую тройку векторов: если вращать ручку буравчика от k к E, то буравчик будет двигаться в направлении вектора H. Если p = −1 (ε, µ < 0), то векторы k, E и H образуют левую тройку векторов: буравчик движется в противоположную сторону от направления вектора H. Таким образом, если p = +1, то среду можно назвать «правой», а при p = −1 – «левой» [1].

Поток энергии, переносимый электромагнитной волной, определяется вектором Умова–Пойтинга S, который записывается как :

где w – плотность энергии электромагнитной волны; V_гр = ∂ω/∂k – групповая скорость, то есть скорость переноса энергии.

Таким образом, волна, распространяясь в среде, имеет две скорости – фазовую V_ф и групповую V_гр. Чтобы понять их смысл, представим себе импульс электромагнитной волны, движущийся в среде. Фазовая скорость – это скорость движения фазы волны, например, максимума или минимума колебательного процесса, а групповая скорость – это скорость, с которой движется огибающая импульса. Они не обязательно должны быть одинаковы и направлены в одну сторону.

Из соотношения (5) видно, что вектор S, а следовательно, и V_гр, образуют с векторами E и H всегда правую тройку векторов. Таким образом, для «правых» сред фазовая и групповая скорости всегда направлены в одну сторону, а для «левых» сред вектора V_гр и V_ф – в разные стороны, то есть это среды с отрицательной групповой скоростью.

Для изотропных сред фазовая и групповая скорости могут быть направлены в разные стороны только при наличии дисперсии в среде, то есть при наличии зависимости величин ε и µ от частоты. Действительно, в дисперсионных средах выражение для плотности электромагнитной энергии должно быть записано в виде [2]:

При ε = const и µ = const из (6) получаем хорошо известное выражение для плотности энергии в изотропной диэлектрической среде:

,

причем w> 0 по определению. Поэтому условие ε = const и µ = const может выполняться только для «правых» сред. Для «левых» сред, если w > 0, то необходимо выполнение условий ∂ (εω)/∂ω > 0 и ∂ (µω)/∂ω > 0. Эти условия не противоречат отрицательности ε и µ, но требуют соответствующих зависимостей ε и µ от частоты ε = ε(ω) и µ = µ(ω), то есть «левая» среда должна обладать дисперсией.

Рассмотрим теперь некоторые физические следствия, которые вытекают из соотношений (4) и (5) для «левых» сред, когда фазовая скорость противоположна групповой (скорости распространения потока энергии).

Обращенный эффект Доплера. Изменение частоты колебаний вследствие движения источника или приемника называется эффектом Доплера. Пусть приемник излучения В движется со скоростью V относительно излучателя А, который излучает частоту ω₀. В этом случае для частоты, воспринимаемой приемником вследствие допплеровского сдвига, можно записать выражение

В «левой» среде (p = −1) приемник будет догонять точки волны, соответствующие какой-либо определенной. Частота, воспринимаемая приемником (см. формулу (3)) будет меньше ω₀, а не больше, как это должно быть для «правой» среды. При этом в формуле (7) скорости V и V_гр направлены в разные стороны. Поэтому в «правой» среде удаляющийся от нас объект кажется более красным из-за эффекта Доплера, а в «левой» среде будет казаться более синим.

Световое притяжение. Монохроматическую волну в «левой» среде можно рассматривать как поток фотонов, каждый из которых обладает импульсом

(k – волновой вектор), причем вектор k направлен к источнику излучения А, а не от него, как это имеет место в «правой» среде. Поэтому луч света, распространяющийся в «левой» среде, при падении на идеально отражающую поверхность будет передавать ей импульс

(N – число падающих фотонов), направленный к источнику. Поэтому световое давление, характерное для обычных сред, в «левой» среде заменяется световым притяжением.

Преломление луча на границе с «левой» средой: среда с отрицательным коэффициентом преломления. При переходе света из одной среды в другую на границе раздела двух сред должны выполняться следующие условия:

– равенство тангенциальных компонент напряженностей электрического и магнитного полей, соответственно;

– равенство нормальных компонент электрической и магнитной индукции, соответственно.

Из (8) следует, что тангенциальные компоненты полей E и H, то есть лежащие в плоскости падения, в падающем и преломленном лучах сохраняют свое направление. Что касается нормальных компонент (см. формулу (9)), то они сохраняют свое направление только тогда, когда среды имеют одинаковый знак (p₁ = p₂). Если первая среда «правая» (p₁ = +1), а вторая среда «левая» (p₂ = −1), то нормальные компоненты полей E и H меняют знак.

Это соответствует тому, что при переходе в среду с другим знаком p векторы E и H не только изменяются по величине из-за разных значений ε и µ, но еще испытывают зеркальное отражение относительно границы раздела двух сред. Преломленный луч во второй среде («левой») будет идти симметрично относительно оси, перпендикулярной к границе раздела, по сравнению со случаем, когда вторая среда – «правая». Например, карандаш, погруженный в «левую» среду, будет казаться изогнутым наружу.

Для сред с различными параметрами p обычную формулу Снеллиуса, связывающую углы падения и отражения, следует записать в виде

Из (10) видно, что коэффициент преломления двух сред n₁₂ может быть отрицательным, если p₂ и p₁ имеют разные знаки. Необходимо отметить, что на необычные законы преломления волн, для которых фазовая и групповая скорости направлены в разные стороны, впервые обратил внимание академик Л.И. Мандельштам в 1940 году [2]. В этой работе он указывает также на то, что пространственно-периодическая среда (имелась в виду кристаллическая решетка) является примером среды, показатель преломления которой в некотором диапазоне частот может быть отрицательным.

Использование «левых» сред позволяет, в принципе, создать весьма необычные преломляющие системы (см., например, [3–6]). Примером такой среды является простая пластина толщиной d из «левого» вещества с n < 0, находящаяся в воздухе. Такая пластина может фокусировать в точку В излучение точечного источника А, находящегося на расстоянии l < d от пластины.

Такая плоская пластина обладает удивительными свойствами – у нее отсутствует фокальная плоскость. Это означает, что линза создает объемное изображение предмета, что делает ее похожей на зеркало. Но, в отличие от зеркала, создаваемое изображение действительное, что открывает новые возможности для цветной фотографии. Плоскопараллельная пластина с ε = µ = −1 является «идеальной» линзой («суперлинза» [3]) поскольку:

а) она имеет нулевой коэффициент отражения;

б) создается идеальное изображение, так как набег фазы по любым траекториям между объектом и изображением равен нулю (любой луч половину пути проходит в обычной, а половину – в идеальной «левой» среде; фазовые скорости в этих средах равны и противоположно направлены, следовательно, набеги фаз вдоль участков траектории луча, расположенных в разных средах, компенсируют друг друга;

в) разрешающая способность такой линзы превышает предел, обусловленный волновой природой света, то есть детали, различимые на изображении, могут быть намного меньше длины волны λ.

Список литературы.

Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями ε и µ // УФН. 1967. Т. 92, вып. 3. С. 517.

Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972.

Пендри Д., Смит Д. В поисках суперлинзы // В мире науки. 2006. № 11. С. 14.

Блиох К.Ю., Блиох Ю.П. Что такое «левые» среды и чем они интересны? // УФН. 2004. Т. 174, № 4. С. 439.

Силин Р.А. Электромагнитные волны в искусственных периодических структурах // УФН. 2006. Т. 175, № 5. С. 562.

http://www.ee.duke.edu/drsmith/

Код для цитирования: Скопировать