XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

Вселенная - додекаэдр

Земля - куб

Огонь - тетраэдр

Вода - икосаэдр

Воздух - октаэдр

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число ребер.

Существует пять различных видов правильных многогранников.

Полуправильные многогранники - это различные выпуклые многогранники, которые, не являются правильными, но имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками

Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, поэтому они получили название «Архимедовы тела». Существует 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду.

Архимедовы тела — выпуклые многогранники.

Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник).

Усеченный тетраэдр

Усеченный октаэдр

Усеченный куб

Усеченный икосаэдр

Усеченный додекаэдр

Усеченный додекаэдр

Кубооктаэдр

Икосододекаэдр

Ромбокубоктаэдр

Ромбоикосододекаэдр

Ромбоусеченный кубооктаэдр

Ромбоусеченный икосододекаэдр

Курносый куб

Курносый додекаэдр

Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией "усечения", состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 1). Из них четыре - правильные шестиугольники и четыре - правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три ребра.
Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис. 2) и усеченный икосаэдр (рис. 3). Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 4) и усеченный додекаэдр (рис. 5).

Для того, чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис. 6). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название - кубооктаэдр.

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис. 7). У него двадцать граней - правильные треугольники и двенадцать граней - правильные пятиугольники, т.е. все грани икосаэдра и додекаэдра.

Заметим, что повторное применение операции усечения к полученным полуправильным многогранникам уже не дает полуправильных многогранников. Дело в том, что многогранные углы данных многогранников не являются правильными. Поэтому многоугольники, получающиеся в сечении этих углов, также не будут правильными.

Например, если операцию усечения применить к кубооктаэдру, то в сечениях многогранных углов получим прямоугольники, но не квадраты. Тем не менее существует полуправильный многогранник (рис. 8), похожий на усеченный кубооктаэдр, гранями которого являются правильные восьмиугольники, шестиугольники и квадраты. Этот многогранник называется усеченным кубооктаэдром, хотя он не получается из кубооктаэдра операцией усечения.

Аналогично, если операцию усечения применить к икосододекаэдру, то в сечениях многогранных углов получим прямоугольники, но не квадраты. Тем не менее существует полуправильный многогранник (рис. 9), похожий на усеченный икосододекаэдр, гранями которого являются правильные десятиегольники, шестиугольники и квадраты. Этот многогранник называется усеченным икосододекаэдром, хотя он не получается из икосододекаэдра операцией усечения.

На рисунке 10 мы видим ромбокубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов.

На рисунке 11 изображен ромбоикосододекаэдр, поверхность которого состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов.

На рисунках 12, а, б представлены соответственно так называемые плосконосый (иногда называют курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Как видим, каждая поверхность этих многогранников состоит из двух или трех типов граней: квадраты, треугольники, пятиугольники и треугольники, квадраты, пятиугольники и треугольники. Модели этих многогранников будут особенно привлекательны, если при их изготовлении грани каждого типа раскрасить в свой особый цвет.

Полуправильные многогранники называют также равноугольно полуправильными многогранниками, из-за того, что все их многогранные углы равны. Рассмотрим многогранники, двойственные к полуправильным многогранникам. Их центры граней являются вершинами полуправильных многогранников. Они образуют класс, так называемых равногранно полуправильных многогранников. У этих многогранников равны все грани, которые, однако, не являются правильными многоугольниками, и равны все двугранные углы.

На рисунках 13, а-в показаны многогранники, двойственные к усеченному тетраэдру, усеченному кубу и усеченному октаэдру.

На рисунках 14 показаны многогранники, двойственные к остальным полуправильным многогранникам.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с только помощью электронного микроскопа.

Список используемых источников

Cолтан, Г. Н. Геометрия для самоподготовки. 11-й класс : пособие для учащихся учреждений общего среднего образования / Г. Н. Cолтан, A. Е. Cолтан. — Минск: Вышэйшая школа, 2016. — 192 c. — ISBN 978-985-06-2701-8. — Текст : электронный // Электронно-библиотечная система IPRBOOKS : [сайт]. — URL: http://www.iprbookshop.ru/90761.html (дата обращения: 24.12.2020). — Режим доступа: для авторизир. Пользователей

История многогранников [Электронный ресурс] – URL: http://mnogograns.narod.ru/history.html (дата обращения: 24.12.2020)

Полуправильные многогранники и их виды [Электронный ресурс] – URL: https://obuchonok.ru/node/2158 (дата обращения: 24.12.2020)

Полуправильные и звездчатые многогранники [Электронный ресурс] – URL: http://vasmirnov.ru/Lecture/SemRegPol/SemRegPol.htm (дата обращения: 24.12.2020)

Правильные многогранники в повседневной жизни и науке [Электронный ресурс] – URL: http://www.hintfox.com/article/pravilnie-mnogogranniki-v-nayke-i-povsednevnoj-zhizni.html (дата обращения: 24.12.2020)

Код для цитирования: Скопировать