XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Прежде чем перейдем к нашей основной теме, давайте вспомним несколько важных понятий.

Натуральные числа (от лат. naturalis «естественный»)  —  числа, возникающие естественным образом при счёте (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее).

Делимость чисел – главное свойство, которое рассматривает теория чисел.Для быстрого выяснения делимости одного числа на другое существуют признаки делимости.

Признак делимости –  алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в десятичной системе исчисления.

Задачи о делимости натуральных чисел – это задачи, с которыми мы часто сталкиваемся на различных олимпиадах. В школах на них уделяют мало времени, но они нередко вызывают проблемы, так как требуют не только знаний признаков делимости, но и опыта в решении таких задачах. Однако при минимальной подготовке можно научиться решать.

Для подготовки к таким задачам большое значение приобретает подбор заданий. Только структурированная совокупность взаимосвязанных задач может обеспечить успешное усвоение и понятие материала для решения.

Существует много приемов, но мы разберем приёмы, связанные с представлением натуральных чисел:

1-й прием - разрядное представление числа, т.е. разложение на единицы, десятки, сотни и т.д.

2-й прием - представление натурального числа через частное и остаток. Если известен остаток от деления искомого числа на некоторое другое, то можно записать a = b⋅k + r, где a искомое число, k частное, а r остаток.

3-й прием - использование признаков делимости.

Рассмотрим следующую задачу

Задача 1.

Продавец на рынке хочет разложить кучку из 41 ореха на 41 кучки по одному ореху. Ему разрешается разделить любую кучку на две, но, если при этом получились две неодинаковые кучки, он должен заплатить хозяину рынка 1 рубль. Как ему выполнить свою задачу, заплатив всего 2 рубля?

Решение. Например, продавец может сделать так. Сначала он разделит кучку из 41 ореха на две кучки: из 1 ореха и из 40 орехов. Затем кучку из 40 орехов он разделит на две кучки: из 32 орехов и из 8 орехов. За эти операции продавец заплатит 2 рубля. Дальше он бесплатно может делить оставшиеся кучки пополам, пока не получатся кучки из 1 ореха.

Данную задачу можно решить многими путями. Можно рассуждать так: “Что можно разделить пополам, чтобы получить 1?”.

Конечно это будет цифра 2. Далее задаем себе тот же вопрос, но результатом должна быть 2. Это будет число 4. Теперь становиться легче. Надо понять, какие числа делятся и на 4, и на 2. В нашем случае это будут только числа 8, 16, 32, 36. Останется лишь привести “кучки” к нашим числам.

Например, сразу разделим на 2 кучки: 33 и 8. После этого разложим кучку из 33 орехов на 1 и 32. Далее у нас получится 3 кучки: из 1 ореха, 32 орехов и 8 орехов. Кучки из 32 и 8 орехов мы уже спокойно делим до кучек по 1 орешку. В итоге мы так же тратим 2 рубля.

Рассмотрим еще одну задачу.

Задача 2.

В классе больше 20, но меньше 30 учеников. При этом в классе тех, кто ходит в шахматный кружок, в 2 раза меньше, чем тех, кто не ходит. А тех, кто ходит в шашечный кружок, в 3 раза меньше, чем тех, кто не ходит. Сколько учеников в классе?

Решение. Пусть в шахматный кружок ходит x ребят, тогда в него не ходит 2x ребят. Итак, всего в классе 3x ребят, и количество учеников в классе делится на 3. Аналогично, пусть в шашечный кружок ходит y ребят, тогда в него не ходит 3y ребят. Итак, всего в классе 4y ребят, и количество учеников в классе делится на 4. Число учеников в классе делится и на 3, и на 4, то есть оно делится на 12. Единственное подходящее число, большее 20 и меньшее 30, это 24.

Ответ. 24 ученика.

Данный тип задач часто встречается в повседневности.

Пример 1.

Алексей пришел в магазин за мороженым. Хватит ли ему 9 рожков, чтобы поровну разделить для своих 3 друзей?

Пример 2.

Какое наибольшее число одинаковых наборов из елочных игрушек можно составить и подарить, если у тебя 12 красных шаров, 32 шишки, 18 синих шаров и 48 белочек?

Задачи о делимости натуральных чисел так же часто встречаются на ЕГЭ.

Пример 1.

В доме, в котором живет Денис, один подъезд. На каждом этаже по 7 квартир. Денис живет в 69 квартире. На каком этаже живет Денис?

69/7 = 9(остаток 6) = 10 этаж

Ответ: 10

Пример 2.

На доске написано число 543254325432. Некоторые цифры стерли так, чтобы получить наибольшее возможное число, делящееся на 9. Чему равно это наибольшее число?

Из признака делимости на 9 следует, что сумма стертых цифр должна быть равна 6. Из двух чисел больше то, в записи которого больше цифр. Поэтому нужно стереть две цифры – либо 3 и 3, либо 2 и 4. Из двух десятиразрядных чисел больше то, у которого в старших разрядах стоят большие цифры. Поэтому нужно стереть первую двойку и последнюю четверку

Ответ. 5435432532

Таким образом в этой статье были рассмотрены задачи о делимости натуральных чисел. Эти задачи часто встречаются в повседневности, а так же на ЕГЭ и олимпиадах. Рассмотрены виды, способы и приемы их решения.

Список использованных ресурсов

Википедия[Электронный ресурс]: – URL: https://ru.wikipedia.org

Статья по математике на тему: совокупность задач на представление натуральных чисел для подготовки школьников к олимпиадам [Электронный ресурс]: – URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=24878828&pf=1(дата обращения 23.12.2020)

Решу ЕГЭ[Электронный ресурс]: – URL: https://ege-study.ru

Методические рекомендации по разработке заданий и требований к проведению школьного и муниципального этапов всероссийской олимпиады школьников в 2017/2018 учебном году по математике [Электронный ресурс]: – URL: https://gymc1540.mskobr.ru/files/mat-sm-2018_compressed.pdf

Код для цитирования: Скопировать