XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Окружающие нас предметы в большинстве своем не являются плоскими, они расположены в пространстве и не умещаются в какой-то одной плоскости. В пространстве любой реальный предмет занимает какую- то часть. В повседневной жизни часто встречаются геометрические тела. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранники.  Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Изучением многогранников занимается раздел математики стереометрия. Стереометрия как наука известна давно. Издавна великие геометры уделяли внимание не только теоретическим положениям и практическим приложениям науки, многие понятия, образы становились незаменимыми компонентами их философских систем.

Что же такое сечение? Сечением называется изображение фигуры, получающееся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями. Сечение входит как составная часть в каждый разрез. Но сечение может существовать на чертеже и как самостоятельное изображение, имеющее отличие от разреза. На сечении указывают то, что находится непосредственно в самой секущей плоскости, и не изображают то, что расположено за ней.

Существуют разные виды сечений. Расскажем о самых распространенных.Вынесенными называют сечения, расположенные вне контура изображений детали. Контур вынесенного сечения выполняют сплошной основной линией, равной толщине линии обводки контура предмета. Сечение штрихуют под углом 45 к основной надписи чертежа.

Ещё один вид это наложенные сечения. Наложенными называют сечения, расположенные непосредственно на видах чертежа.

Одним из способов решения сложной стереометрической задачи является переход к рассмотрению одной или нескольких планиметрических задач. Для этого можно рассматривать какую-то грань многогранника или какое-то сечение трехмерного тела плоскостью. Для построения сечений различных пространственных фигур необходимо помнить основные определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также свойства пространственных фигур.

Существует несколько методов построения сечений. Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника. Продемонстрируем этот метод на примере.

Задача 1

Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R 

Решение:

Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА₁В₁В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.

Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S₁, принадлежащую следу.

Аналогично получаем точку S₂ пересечением прямых QR и BC.

Прямая S₁S₂ - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D. Аналогично получаем TU и RT.

PQRTU – искомое сечение.

Второй метод - это метод вспомогательных сечений является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями аксиоматического метода построения сечений многогранников плоскостью.

Следующий способ построения сечений – это комбинированный метод. Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Задача 2

На ребрах АВ и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q - середины этих ребер, а на ребре МС зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R

Решение:
1.Основным следом плоскости PQR является прямая PQ. 
2. Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости МАС. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей. 
3. Найдем точку N=AC∩BD, проведем прямую MN и найдем точку F’=KR∩MN. 
4. Точка F’ является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F’. 
5. Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге мы получаем многоугольник PQD'RB' - искомое сечение.

Таким образом, в рамках данной статьи было рассмотрено понятие сечения, его виды и методы построения сечений. Изучив различные сечения, мы можем делать некие общие выводы относительного всего тела.

Список используемой литературы

Гущин, Л. Я. Изображения. Виды, разрезы, сечения : методические указания к расчетно-графической работе «Изображения: виды, разрезы, сечения» по дисциплине «Инженерная графика» / Л. Я. Гущин, Е. А. Ваншина. — Оренбург : Оренбургский государственный университет, ЭБС АСВ, 2007. —С 15-19 — ISBN 2227-8397. — Текст : электронный //— URL: http://www.iprbookshop.ru/21579.html (дата обращения: 23.12.2020). — Режим доступа: по подписке.

Электронный образовательный ресурс «Построение сечений многогранников и тел вращения» [Электронный ресурс] – URL: https://www.sites.google.com/site/obrazovatelnyjresursgeometry/home/tema-4-metody-postroenia-secenij-kombinirovannyj-metod (дата обращения 23.12.2020)

Методы построения сечений многогранников [Электронный ресурс] – URL: https://urok.1sept.ru/articles/212754 (дата обращения 23.12.2020)

Код для цитирования: Скопировать