XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Задачи на смеси, сплавы и работу при первом знакомстве с ними вызывают у обучающихся затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие. Задачи данного типа, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления.

Задачи на смеси и сплавы всегда в своей сущности сводятся к определению концентрации смеси или сплава, при непосредственном решение сплавы и смеси подвергаются слиянию, то есть соединению между собой, из этого следуют одно из главных допущений таких задач – Все получающиеся сплавы или смеси однородны. Также при объединении нескольких смесей (сплавов) масса и объем полученной смеси равны сумме масс и объемов смешиваемых компонентов, а уже из этого правила следует следующее допущение – при решении задач считается, что масса смеси(сплавов) нескольких веществ равна сумме масс компонентов

Чаще всего концентрация в этих задачах вычисляется по массе, но иногда может быть определена и по объему. Но, из практики следует – сумма объемов веществ, подвергаемых слиянию не всегда равна объему получившегося соединения. Поэтому чаще всего мы будем находить процентное содержание по массе.

Для решения этих задах надо усвоить пару правил, после чего их решения не покажутся чем-то тяжелым. Перейдем непосредственно к решению, оно проходит в 3 этапа.

Составляется таблица, в которой записывается общая масса смеси(сплава), а также чистая масса каждой смеси(сплава). Всю эту информацию брать непосредственно из условия задачи, все что будет неизвестно обозначим, как неизвестные, а именно берем их, как x, y.

Пример таблицы.

Сплав(смесь)	Общая масса	Масса чистого вещества
Сплав(смесь) 1	x	Kx
Сплав(смесь) 2	y	my
Сплав(смесь) 3	x+y	kx+my

Далее необходимо составить уравнение, при его написании руководствуемся тем фактом, что данное уравнение – соединении двух смесей (или сплавов), то есть нужно сложить общую и чистую этих массу двух сплавов(смесей), из чего получим их общую и чистую массу каждого вещества, содержащихся в них. Далее решаем составленное уравнение.

Решив задачу, очень важно просмотреть её условие, чтобы правильно сформулировать ответ. Важно понимать, что решеная система уравнений – еще не конечный ответ. Так что, нужно сделать проверку, прежде чем записать ответ.

От теории перейдем к практике, приведем примеры задач и их решения.

Пример №1.

Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Решение.

Составим таблицу.

Пусть масса первого сплава – х, масса второго сплава – у. Остальные данные берем из условия и составляем таблицу.

Сплав(смесь)	Общая масса	Масса чистого вещества
Сплав(смесь)	x	0.15x
Сплав(смесь)	y	0.65y
Сплав(смесь)	x+y	0.15x+0.65y

По условиям задачи масса третьего сплава равна 200 г, значит:

х + у = 200

Содержание меди в третьем сплаве по условиям задачи равно 30%, т.е. масса чистого вещества равна 0,3(х + у). Следовательно, берем массу чистого вещества из таблицы и приравниваем:

0,15х + 0,65у = 0,3(х + у)

Получившиеся уравнения сводим в систему и решаем ее:

х = 200 – у

0,15(200 – у) + 0,65у = 0,3 * 200

30 – 0,15у + 0,65у = 60

0,5у = 30

у = 60

х = 140

3. Возвращаемся к условию задачи. Необходимо было найти массу первого и второго сплава. Масса первого сплава — 140 г, масса второго сплава -60 г.

Ответ: 140 г и 60 г.

Пример №2.

Смешали 40% и 15% растворы кислоты, затем добавили 3 кг чистой воды, в результате чего получили 20% раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80% раствора той же кислоты, то получили бы 50% раствор кислоты. Сколько килограммов 40% и 15% растворов кислоты было смешано?

Решение:

1. Составляем таблицу. По условию задачи мы имеем пять растворов:

Раствор 1: 40%ая кислота. Обозначим ее массу за х, тогда масса чистого вещества = х * 40% = 0,4х

Раствор 2: 15%ая кислота. Обозначим ее массу за у, тогда масса чистого вещества = х * 15% = 0,15х

Вода: вода, масса которой равна 3 кг. Концентрация кислоты в воде равна 0. Таким образом, масса чистого вещества равна 3 * 0 = 0

Раствор 3: 80% кислота. Ее масса по условию задачи равна 3 кг, тогда масса чистого вещества равна 3 * 80% = 3 *0,8 = 2,4

Раствор 4: соединение раствора 1, раствора 2 и воды. Таким образом, общая масса полученного раствора равна х + у + 3. А масса чистого вещества в этом растворе равна 0,4х + 0,15у + 0

Раствор 5: соединение раствора 1, раствора 2 и раствора 3. Таким образом, общая масса полученного раствора равна х + у + 3. А масса чистого вещества в этом растворе равна 0,4х + 0,15у + 2,4.

Сводим полученные результаты в таблицу.

Раствор	Общая масса	Масса чистого вещества
Раствор 1 (40%)	x	0.4x
Раствор 2 (15%)	y	0.15y
Вода	3	0
Раствор 3 (80%)	3	3*0.8=2.4
Раствор 4 (40%+15%+вода)	x+y+3	0.4x+0.15y+0
Раствор 5 (40%+15%+80%)	x+y+3	0.4x+0.15y+2.4

2. Составляем уравнение.

По условию задачи раствор 5 имеет концентрацию 50%. Таким образом, чтобы получить массу чистого вещества в растворе 5 нужно его общую массу умножить на концентрацию. Получаем (х + у + 3) * 0,5. Теперь берем массу чистого вещества раствора 5, которую мы выразили в таблице и приравниваем два этих уравнения:

(х + у + 3) * 0,5 = 0,4х + 0,15у + 2,4

Аналогично поступаем с раствором 4. По условиям задачи его концентрация равна 20%. Тогда получаем следующее уравнение:

(х + у + 3) * 0,2 = 0,4х + 0,15у

Объединяем полученные уравнения в систему:

Решаем систему и получаем

х = 3,4, у = 1,6

3. Возвращаемся к условию задачи.

По условию задачи необходимо было найти, какое количество килограммов 40% и 15% растворов кислоты было смешано. Общая масса 40% кислоты мы обозначали х, а общую массу 15% кислоты мы обозначили у. Следовательно, масса 40% кислоты = 3,4 кг, а масса 15% кислоты = 1,6 кг.

Ответ: масса 40% кислоты = 3,4 кг, а масса 15% кислоты = 1,6 кг.

Подведем итоги, приёмы, используемые при решении задач на массовые концентрации смесей и сплавов – общие, они могут применяться в задачах этого типа повсеместно, данные суждения видно из примеров, приведенных выше, но вообще, задачи на смеси и сплавы, хоть для многих, могут быть, отталкивающими, но в своей сути они довольно просты, главное запомнить этапы ее решения, а также запомнить допущения, тогда задача не будет преградой для математических достижений.

Список используемых источников

Репетитор по математике о методике работы с текстовыми задачами. Задачи на смеси, сплавы и растворы. Копилка приемов репетитора [Электронный ресурс] / Колпаков А.Н. – URL: https://ankolpakov.ru/2011/03/31/repetitor-po-matematike-o-metodike-raboty-s-tekstovymi-zadachami-zadachi-na-smesi-splavy-i-rastvory-kopilka-priemov-repetitora/ (дата обращения 22.12.2020)

Задачи на сплавы и смеси на ЕГЭ 2019 с решением [Электронный ресурс] – URL: https://yourrepetitor.ru/zadachi-na-splavy-i-smesi-na-ege-2019-s-resheniem (дата обращения 22.12.2020)

Задачи на смеси, сплавы и растворы [Электронный ресурс] – URL: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/mix.htm#mix1 (дата обращения 22.12.2020)

Задачи на смеси и сплавы (ЕГЭ – 2021) [Электронный ресурс] –URL: https://youclever.org/book/zadachi-na-smesi-i-splavy-1/#t-1595491848382 (дата обращения 22.12.2020)

Код для цитирования: Скопировать