XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021
Магические квадраты
КомментарииПолная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Во многих современных науках используется такие понятие, как «магические квадраты». Название магических квадратов происходит от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий.
Древние греки были знакомы с простейшим (3-го порядка) магическим квадратом. В одном из арабских манускриптов конца VIII в. упоминается его автор (который на самом деле лишь открыл заново то, что было известно за много веков до него) – философ-новопифагорец Апполон из Тиана, живший в начале нашей эры. Так в ходе времени образовался магический квадрат, который мы встречаем, по сей день.
Магический (волшебный квадрат) – квадратная таблица размером , заполненная натуральными числами от 1 до , суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы.
Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной.
|
11 |
24 |
7 |
20 |
3 |
|
4 |
12 |
25 |
8 |
16 |
|
17 |
5 |
13 |
21 |
9 |
|
10 |
18 |
1 |
14 |
22 |
|
23 |
6 |
19 |
2 |
15 |
Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит клеток и называется квадратом n-го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна
.
Доказано, что n 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.
|
8 |
1 |
6 |
|
3 |
5 |
7 |
|
4 |
9 |
2 |
|
11 |
3 |
2 |
13 |
|
5 |
10 |
11 |
8 |
|
9 |
6 |
7 |
12 |
|
4 |
15 |
14 |
1 |
|
17 |
24 |
1 |
8 |
15 |
|
23 |
5 |
7 |
14 |
16 |
|
4 |
6 |
13 |
20 |
22 |
|
10 |
12 |
19 |
21 |
3 |
|
11 |
18 |
25 |
2 |
9 |
S=15
S=34
S=65
Существует всего один магический квадрат 3-го порядка! Общее число квадратов, которые можно составить из девяти чисел, равно
Если найден один магический квадрат, то каждый из семи квадратов, полученный из него любым из указанных способов, не следует рассматривать как новый вариант искомого квадрата. Отбросив все «ложные» варианты, получим интересующее нас число расстановок чисел в таблице размером 3 х 3, а именно 362 880: 8 = 45 360, и только одна из комбинаций соответствует магическому квадрату!
Если говорить о разновидностях магических квадратов, то можно сказать, что среди их большого количества некоторые выделяются особыми свойствами: числа, из которых они составлены, удовлетворяют различным дополнительным условиям. Так, у изображенного на рис. 1 магического квадрата 5-го порядка суммы пятерок чисел в клетках, расположенных на «разломанных» диагоналях (клетки закрашены одним и тем же цветом), равны постоянной магического квадрата - числу 65. Квадрат с таким свойством называется совершенным.
|
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
|
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
|
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
|
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
|
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
Рисунок 1
Легко убедиться в том, что квадрат останется совершенным, если подвергнуть его таким преобразованиям, как поворот и симметрия. Оказывается, существуют и другие преобразования, сохраняющие это свойство. Так, квадрат останется совершенным после того, как его верхнюю строку переставить вниз или левый столбец перенести к правой стороне (либо наоборот, нижнюю строку поместить сверху, а правый столбец - слева). Отметим другое, следующее отсюда свойство: если расположить рядом два одинаковых квадрата так, чтобы у них была общая сторона, получится своеобразный паркет, в котором числа, оказавшиеся в любой группе клеток размером 5x5, образуют совершенный квадрат (рис. 2).
|
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
1 |
15 |
24 |
8 |
17 |
|
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
9 |
18 |
2 |
11 |
25 |
|
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
12 |
21 |
10 |
19 |
3 |
|
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
20 |
4 |
13 |
22 |
6 |
|
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
23 |
7 |
16 |
5 |
14 |
Рисунок 2
Использование магических квадратов прослеживается в современной школе на уроках информатики при работе с программой Мicrosoft Ехсе1, при изучении языка программирования Раsса1. Однако их роль на уроках математики тоже заметна. Магические квадраты зачастую используются для развития логического мышление и внимания. В начальной школе используются магические квадраты с повторяющимися цифрами для закрепления нумерации. Магические квадраты получили распространение даже в сфере развлечений. На их основе созданы многие современные логические игры.
Например, игра «Судоку» (рисунок 3). Игра представляет собой квадрат размером 3x3 клетки. В каждую клетку помещается одно число от 1 до 9 причем так, чтобы сумма чисел в любом столбце, строке и по диагонали равнялась 15.
Рисунок 3
Таким образом было рассмотрено понятие магического квадрата, который в современном мире представляет интерес для многих людей. Рассмотрены виды, способы построения, исторические факты и использование магического квадрата.
Список используемых источников
Постников, М.М. Магические квадраты. / М.М. Постников – М.: Просвящение, 1964 – 84 с.
Статья по математике на тему: «Магические квадраты» [Электронный ресурс] – URL: https://infourok.ru/statya-po-matematike-na-temu-magicheskie-kvadrati-396539.html (дата обращения 16.12.2020)
Магические и греко-латинские квадраты [Электронный ресурс] – URL: http://www.vasmirnov.ru/Lecture/MagSq/MagSq.htm (дата обращения 19.12.2020)