XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Построена физико-математическая модель измерения величины заряда механическим электрометром с вертикальным электродом, в котором применена измерительная стрелка с эффективной массой. Модель позволяет получить аналитическую зависимость измеряемого прибором заряда от угла отклонения измерительной стрелки от вертикали. Зависимость связана с масштабом заряда прибора, которым характеризуется электрометр. Масштаб заряда определяется эффективной массой вращающейся стрелки, её геометрической длиной и ускорением свободного падения. Рассчитаны параметры модельного ряда электрометров с различными геометрическими размерами и эффективными массами измерительной стрелки. Получены диапазон измерения заряда и цена деления шкалы близкого к рассматриваемой модели школьного механического электрометра Б.Кольбе.

Ключевые слова: механический электрометр, заряд, разность потенциалов, измерительная стрелка, эффективная масса, масштаб измеряемого заряда, калибровка высоковольтным источником питания.

The physical and mathematical model of charge’s value measurement by electrometer with vertical electrode, which has meter needle with effective mass, has been constructed. The model permits to obtain analytical dependence of charge, measuring by device, from the angle of meter needle’s deflection in regard to vertical line. The dependence is link to the scale of device’s charge, characterizing the electrometer. The scale of charge is evaluated by effective mass of rotating meter needle, its geometrical length and free fall acceleration. The parameters of electrometer’s family with diverse geometrical dimensions and effective masses of meter needle have been calculated. The measurement range of charge and the scale division of closed to considered model of mechanical school electrometer of B. Kolbe have been obtained.

Key words: mechanical electrometer, charge, potential difference, meter needle, effective mass, scale of measured charge, calibration by high-voltage power supply.

Школьный механический электрометр – прибор, служащий для измерения электрического потенциала. Устройства этого рода всегда были демонстрационными. Они могут только грубо фиксировать либо наличие заряда на уединённой ёмкости измерительного электрода, в этом случае их называют электроскопом, либо разность потенциалов между корпусом и измерительным электродом. В этом случае их называют электрометром. При демонстрации опытов по физике обычно используют наиболее распространённую механическую модель электрометра, предложенную Кольбе Б.Ю. [1]. К сожалению, во всех электрометрах используется шкала с нанесёнными делениями, цена деления которой обычно остаётся неизвестной для демонстратора.

В заметке построена физико-математическая модель измерения заряда механическим электрометром с эффективной массой стрелки, измерительный электрод которого установлен вертикально. Получена зависимость заряда от угла отклонения измерительной стрелки. Определены масштабы заряда и цена деления шкалы модельных электрометров для различных геометрических размеров и эффективных масс.

Рис. 1. Механический школьный электрометр с прикреплённым транспортиром

На рис. 1 представлена фотография современного электрометра. Он состоит из измерительной стрелки 1, закреплённой на вертикальном подвесе 2, соединённой с измерительным электродом 3. Конструкция помещена в металлический цилиндрический корпус 4, который в верхней части изолирован от измерительного электрода диэлектриком. Подведение к измерительному электроду 3 электрического заряда приводит к повороту измерительной стрелки 1 на угол . Его значение зависит от сообщённого вертикальному электроду 2 заряда Q.

На рис. 2 представлена схематически электрическая стрелка 1, повернутая на угол  от вертикали. Предположим, что часть заряда, расположенного на половине стрелки q и подвеса 2 точечные, одинаковые и сосредоточены в центре тяжести половинок стрелки и электрода. Будем также предполагать, что измерительная стрелка имеет равные плечи, но каждое плечо имеет свою массу. Обозначим эти массы через m₁ и m₂. На точечный заряд q, расположенный в нижней точке А, на расстоянии r₁ от другого точечного заряда q , расположенного в точке В, действуют четыре силы: 1) сила тяжести половинки стрелки, 2) сила отталкивания Кулона , зарядов, находящихся на прямой АВ, 3) сила отталкивания Кулона , зарядов, находящихся на прямой АD и 4) сила реакции опоры стрелки . Такие же четыре силы действуют на заряд q, находящийся в верхней точке стрелки С.

Рис. 2. Расположение основных векторов задачи

Угол – угол между касательной в точке А и направлением действия силы  . Запишем уравнение статики для моментов сил, действующих на концы уравновешенной стрелки (см. рис. 2)

, (1)

где и – моменты сил тяжести половинок стрелки;

и – моменты кулоновских сил, действующих на нижнюю часть стрелки; и – моменты кулоновских сил, действующих на верхнюю часть стрелки; и – моменты сил реакции стрелки, – радиус-вектор, проведённый из точки подвеса стрелки О в точку А или в точку С.

Моменты сил реакции стрелки обращаются в нуль, поскольку угол между векторами векторного произведения равен . Проецируя (1) на ось, перпендикулярную чертежу на рис. 2, получим равенство

, (2)

где – сила кулоновского взаимодействия точечных зарядов на прямой АВ, – сила кулоновского взаимодействия зарядов на прямой АD, м/Ф – постоянная в законе Кулона, – электрическая постоянная, – расстояние между зарядами на прямой АВ, – расстояние между зарядами на прямой АD, – эффективная масса стрелки, g – ускорение свободного падения.

Подставляя в (2) силы Кулона и, учитывая, что прибор измеряет полный заряд, находящийся на стрелке и измерительном электроде , получим зависимость измеряемого заряда от угла отклонения стрелки

, (3)

где (4)

– масштаб измеряемого заряда системы. Он является базовым физическим параметром любого электрометра.

Таблица 1. Зависимость масштабов заряда модели Q_* от параметров стрелки (масштаб заряда в нКл)

L(мм)/m(мг)	10	20	30	40	50
50	Q*=7,4	Q*=10,4	Q*=12,8	Q*=14,8	Q*=16,5
100	Q*=14,8	Q*=20,9	Q*=25,6	Q*=29,5	Q*=33,0
150	Q*=22,1	Q*=31,3	Q*=38,4	Q*=44,3	Q*=49,5
200	Q*=29,5	Q*=41,8	Q*=51,2	Q*=59,0	Q*=66,0
250	Q*=36,9	Q*=52,2	Q*=63,9	Q*=73,8	Q*=82,5

В масштаб заряда (4) вошли: эффективная масса стрелки m, ускорение свободного падения g и длина стрелки L=2l. Чем больше эти значения у электрометра, тем больший заряд он может измерять. Значения масштаба зарядов для различных эффективных масс и длин модельного ряда приведены в табл. 1. Жирным шрифтом отмечены значения длины и эффективной массы школьного электрометра, приведённого на рис. 1, наиболее близкого к рассматриваемой модели. Длина его стрелки 150 мм, а эффективная масса 10 мг.

Из табл. 1 видно, что значения масштаба заряда для модельных электрометров с различными значениями длины и массы отличаются на порядок и находятся в диапазоне от 7,4 нКл до 82,5 нКл.

Рис. 3. Зависимость приведённого заряда модельного электрометра от угла отклонения

На рис. 3 представлена зависимость приведённого заряда модели от угла отклонения , рассчитанная по соотношению (3). Она сильно нелинейная. В таблице 2 приведена рассчитанная зависимость для параметров электрометра, выделенного жирным шрифтом в табл. 1. Она приведена в области измерений для диапазона углов от 0⁰ до 80⁰, измеряемых модельным электрометром с масштабом заряда Q_*=22 нКл. Из неё видно, что значения измеряемого заряда лежат в диапазоне от 0 до 25 нКл.

Таблица 2. Зависимость приведённого заряда Q/Q_* от угла отклонения 

Q/Q*	0,013	0,036	0,067	0,103	0,143	0,188	0,237	0,290
(град)	5	10	15	20	25	30	35	40
Q(нКл)	0,286	0,792	1,474	2,266	3,146	4,136	5,214	6,38
Q/Q*	0,347	0,410	0,479	0,556	0,647	0,758	0,907	1,139
(град)	45	50	55	60	65	70	75	80
Q(нКл)	7,634	9,02	10,538	12,232	14,234	16,676	19,954	25,058

Для получения линейной шкалы зависимости заряда от угла отклонения необходимо воспользоваться следующим преобразованием переменных. Значение измеряемого заряда откладывать по оси y(в диапазоне до 25 нКл), а значение угла отклонения стрелки по оси (безразмерное значение x рассчитывается из соотношения (3) по измеренному углу). На графике y=y(x) будет получено облако точек, которое будет окружать график прямой линии, проходящей через начало новых координат.

Применяя метод наименьших квадратов Лежандра для обработки результатов в облаке измерений, из графика можно извлечь средний тангенс угла наклона прямой. Он позволит определить величину экспериментального масштаба заряда используемого электрометра. Её сравнение со значением, найденным из модельных расчётов, даст возможность уточнить истинное значение масштаба заряда исследуемого электрометра.

Выводы

Предложенная модель позволяет предложить путь увеличения точности измерений заряда механическими электрометрами в нанокулонном диапазоне.

Она требует установки в механических электрометрах равномерной градусной шкалы, с угловым размером до 90⁰ с шагом в 5⁰.

Повышение точности измерений заряда механическим электроскопом позволит создать цикл прецизионных лабораторных работ по физике на тему «Электростатика», в которые войдут элементы научных исследований.

Литература

1. Индриксон Ф.Н. Электрометр//Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона в 86 томах (82 т., 4 доп.). – СПб., 1890-1907.

Код для цитирования: Скопировать