XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Аннотация. В работе рассмотрено уравнение линейной парной регрессии, параметры которого находятся с помощью метода наименьших квадратов. Проанализированы полученная линейная зависимость и её коэффициенты. Все расчеты производились с помощью MS Excel.

Ключевые слова: регрессия, метод наименьших квадратов, анализ данных, Excel.

Abstract. The paper considers the equation of linear pair regression, the parameters of which are found using the method of least squares. The obtained linear dependence and its coefficients are analyzed. All calculations were performed using MS Excel.

Keywords: regression, least squares, data analysis, Excel.

С помощью уравнения регрессии можно спрогнозировать возможные ожидаемые значения результативного признака. Существует несколько видов уравнений регрессии. Например: линейное уравнение регрессии, множественное, парное, также гиперболическое, логарифмическое, обратное, степенное и экспоненциальное уравнение регрессии. Уравнение линейной парной регрессии выглядит следующим образом: .

Одним из основных методов определения параметров регрессионных уравнений является метод наименьших квадратов (МНК). Именно он широко представлен в MS Excel. Его сущность заключается в нахождении параметров, при которых сумма квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных сводится к минимуму.

Рассмотрим следующую задачу. Необходимо оценить зависимость между ВРП на душу населения и объемом розничной торговли в регионах. Применить МНК, построить уравнение регрессии и построить графически меру ошибки регрессионной модели, используя табличный процессор MS Excel.

В качестве исходных данных возьмем данные с сайта Государственной статистики по 79 регионам РФ.

Таблица 1 – Фрагмент исходные данные по ВРП и обороту розничной торговли на 2018 год по регионам РФ.

Табл.2 – Фрагмент расчетов в Excel

С помощью МНК было составлено уравнение регрессии, которое связывает ВРП на душу населения и объем розничной торговли на душу населения. Также был построен график по исходным данным с эмпирической кривой – это оказалась прямая и мы видим, что точки собраны вокруг одной прямой линии, поэтому можно предположить линейную связь между параметрами, что позволило нам применить метод наименьших квадратов.

График 1 – Исходные данные и эмпирическая кривая.

С помощью формул (1) и (2) вычислим коэффициенты линейной регрессии.

(1)

(2)

Получилось, что значение свободного члена А коэффициент регрессии получился равным 0,7345. Знак положительный, следовательно, связь между объемами розничной торговли в регионах и ВРП является положительной (прямой). Теперь составим уравнение регрессии, оно имеет следующий вид: .

Значение руб. показывает какой объем розничной торговли будет в регионе, если ВРП этого региона будет принимать значения близкие к нулю. Значение показывает, что если ВРП увеличить на одну тысячу рублей, то объем розничной торговли увеличиться на 0,7345 тысяч руб.

Теперь посчитаем коэффициент детерминации с помощью формулы (3)

(3)

Величина коэффициента детерминации 69% (< 75%) не позволяет делать прогнозы об объеме розничной торговли региона по его ВРП.

Проведем регрессионный анализ с использованием режима Регрессия Excel. У нас сгенерируются результаты по регрессионной статистике.

Табл.3 – Результаты регрессионной статистики.

Величина R-квадрат характеризует качество полученной регрессионной прямой. В нашем примере мера определенности равна данному числу 0,692076, что говорит о неплохой подгонке регрессионной прямой к исходным данным и практически совпадает с коэффициентом детерминации R², вычисленным по формуле.

Множественный R выражает степень зависимости независимых переменных и зависимой переменной.

Сравнивая значения столбцов «Коэффициенты» и «Стандартная ошибка», отметим, что значение (свободного члена) меньше стандартной ошибки по модулю, чего нельзя сказать о коэффициенте . Он получился больше стандартной ошибки. Следовательно, можно сделать вывод, что коэффициент = 0,7345 является значимым, чего нельзя сказать о коэффициенте = -23736,09308 - он является незначимым.

Приблизительным, но самым простым и наглядным способом проверки удовлетворительности регрессионной модели является графическое представление отклонений.

График 2 – График отклонений.

Если регрессионная модель близка к реальной зависимости, то отклонения будут носить случайный характер и их сумма будет близка к нулю. В нашем случае их сумма равна . Делаем вывод, что регрессионная модель не близка к реальной зависимости, так как сумма отклонений не близка к нулю.

Обычно мерой ошибки регрессионной модели служит среднее квадратическое отклонение. Формула (4)

(4)

Для нормально распределенных процессов приблизительно 67% точек находятся в пределах одного отклонения от линии регрессии и 95% - в пределах (на рисунке это трубки зеленого и красного цветов соответственно). Результаты отклонений в нашем случае представлены на графике.

Мы видим, что в пределах зеленой трубки, то есть сигма – 43%, в пределах красной – 67%.

График 3 – Мера ошибки регрессионной модели.

Таким образом, в результате использования регрессионного анализа в пакете Microsoft Excel можно сделать следующие выводы:

Линейная зависимость между объемами розничной торговли в регионах и Валовым региональным продуктом имеет вид:

Связь между объемами розничной торговли в регионах и ВРП является положительной (прямой)

Коэффициент a₁ = 0,7345 является значимым, чего нельзя сказать о коэффициенте a₀= -23736,09308

Регрессионная модель не близка к реальной зависимости, так как сумма отклонений не близка к нулю.

Величина коэффициента детерминации 69% (< 75%) не позволяет делать прогнозы об объеме розничной торговли региона по его ВРП.

Список литературы:

1. Тимофеева Г. А.  Эконометрика : учебное пособие для студентов подготовки бакалавров 080100.62 - "Экономика" всех форм обучения / Г. А. Тимофеева, А. В. Мартыненко ; Федер. агентство ж.-д. транспорта, Урал. гос. ун-т путей сообщения, Каф. "Высш. и приклад. математика". - Екатеринбург : УрГУПС, 2016. - 111 с. : ил.

2. www.gks.ru(дата обращения 18.10.20)

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: практикум : учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. Москва: ЮНИТИ, 2007.

4. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для студентов вузов./– Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.

Код для цитирования: Скопировать