XIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2021

Аннотация. В работе рассмотрены численные методы решения системы линейных алгебраических уравнений. На примере конкретной системы проиллюстрированы метод простой итерации (метод Якоби) и метод Зейделя, выполнено сравнение данных методов. Процесс вычисления реализован в программе Mathcad.

Ключевые слова: Итерация, матрица, точность, Mathcad.

Abstract. Numerical methods for solving a system of linear algebraic equations are considered. The simple iteration method (the Jacobi method) and the Seidel method are illustrated on the example of a specific system, and these methods are compared. The calculation process is implemented in Mathcad.

Keywords: Iteration, matrix, accuracy, Mathcad.

Достаточно часто при решении той или иной задачи прикладного содержания возникает необходимость в решении системы линейных алгебраических уравнений. Наряду с прямыми (точными) методами, такими, как метод Гаусса, метод Крамера и метод обратной матрицы, существуют численные методы решения, например, метод простой итерации (метод Якоби) и метод Зейделя. Последние два способа реализуются последовательными приближениями и позволяют найти решение системы с заданной точностью за конечное число циклов перерасчета (итераций). Решение систем прямыми методами становится затруднительным в том случае, когда число неизвестных больше 100. Это связано с тем, что в памяти компьютера операции с матрицами занимают достаточно много места. Кроме того, на каждом шаге вычисления накапливаются погрешности. При решении системы итерационными методами в памяти компьютера хранятся только несколько векторов с nкомпонентами, а погрешности вычислений не накапливаются, так как точность вычислений в каждой итерации определяется результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных вычислений.

Метод Якоби является методом простой итерации, суть которого заключается в следующем: исходную систему (1) приводим с помощью выражений (2) к виду (3) для последующих итераций. Затем с помощью начального приближения вычисляется следующее приближение, которое является более точным

(1)

(2)

……………………………………………………………….

(3)

Для возможности выполнения данного процесса необходимо, чтобы все диагональные элементы матрицы коэффициентов системы (1)по модулю были больше суммы остальных элементов данной строки, что является проверкой условия на сходимость. Затем подбираются начальные приближения и идёт расчёт по итеративной формуле. Кратко цепочку вычислений можно представить в виде:

(4)

(5)

(6)

Последнее неравенство выражает критерий остановки процесса итерации. Метод Зейделя очень похож на метод Якоби, но его особенностью является то, что при вычислении очередного приближения (7)к неизвестному используют уже найденные приближения, а проверка условий на сходимость остаётся та же (4) .

(7)

…………………………………………………….

Процесс итерации завершается при выполнении неравенства (6)

С помощью данных формул по методу Якобии методу Зейделя рассмотрим решение системы уравнений (8) в программе Mathcad, создав, соответствующий каждому методу, алгоритм решения.

(8)

Вывод. В ходе решения системы линейных алгебраический уравнений (8), за конечное число шагов итераций получены решения каждым методом с заданной точностью. Эти решения достаточно приближены к точному решению, полученному методом Гаусса. Кроме того, следует отметить, что начальные приближения для каждого метода выбирались несколько раз, метод Зейделя в каждом случае достигал решения за меньшее число шагов итерации, чем метод Якоби.

Список источников.

1. Трауб Дж., Итерационные методы решения уравнений; Мир - М.,2012. - 264 c

2. Н. Бахвалов, Н.Жидков, Г. Кобельков. Численные методы. -М.: Изд. Физматлит, 2006.

3. В. М. Вержбицкий. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. -М.: Изд. Высшая школа, 2000.

Код для цитирования: Скопировать