XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020
Решение уравнения с параметрами как средство развития мышления учащихся
КомментарииПолная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Решение уравнения с параметрами как средство развития мышления учащихся
Аннотация: В статье раскрывается понятие параметра, дается определение уравнения с параметром, приводятся методы решения уравнений с параметрами, рассматриваются примеры решения указанных уравнений.
Ключевые слова: математика, уравнение с параметром, параметр, методы решения уравнений, функциональный метод, графический метод, аналитический метод.
Одной из сложных тем, вызывающих трудности у большинства обучающихся, является уравнения с параметром. Уравнения с параметром встречаются на Едином государственном экзамене, следовательно, умение их решать относится к обязательным умениям, которые должен усвоить выпускник общеобразовательной школы.
Что же собой представляет уравнение с параметром? Это уравнение, в которое помимо неизвестной переменной может входить неизвестное число, имеющее фиксированное значение – параметр.
Например, в уравнении ах + 3 = 13 переменная х является неизвестным, а – параметром; в уравнении 2y2 + by + 3b = 0 неизвестная переменная обозначается у, а параметр – буквой b.
Следовательно, в рассматриваемых уравнениях один или несколько коэффициентов зависят от неизвестной переменной (параметра).
В литературе встречаются различные определения понятия «параметр»:
параметр определяют, как независимую переменную величину, входящую в условие и «управляющая» ее решением [3];
параметр – это одна из переменных в уравнении, которую можно заменить фиксированным значением [7];
параметром называют переменную величину, фиксированную в рассматриваемой ситуации или анализируемого процесса, при этом изменение параметра приводит к изменениям в связях между другими переменными процесса [4].
Можно выделить следующие типы заданий на решение уравнений с параметрами:
решение уравнения при каждом значении параметра;
нахождение значения параметра, при котором уравнения могут быть равносильны;
решение уравнения с учетом дополнительных ограничений на параметр;
нахождение параметра, при котором уравнение имеет заданное количество решений [1].
Для решения уравнений с параметрами достаточно того объема знаний, который получают учащиеся в рамках школьной программы. Однако решение этих уравнений невозможно без глубокого понимания всех разделов школьного курса математики, без обобщения и систематизации учебного опыта учащихся. Уравнения с параметрами формируют у учащихся умение рассуждать логически и анализировать полученные решения [5].
Отметим, что линия уравнений включает в себя следующие виды: линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, и любое из этих уравнений может включать в себя параметр.
Основной характеристикой этого класса задач является, по мнению В.П. Сущинского [8], отсутствие единого алгоритма решения, т.е. учащиеся должны использовать нестандартный подход, уметь применять разнообразные методы исследования, а также устанавливать связь между геометрическим и алгебраическим материалами.
Несмотря на это, можно выделить несколько методов решения задач с параметрами: аналитический; функциональный; графический; метод изменения ролей переменных; перехода от общего к частному; свободных ассоциаций; «обратного хода»; комбинированные методы. Конечно, как считает В.А. Токарева [9], перечисленными методами не ограничивается многообразие приемов решения задач с параметрами.
На практике чаще всего используются аналитический, функциональный и графический методы решения уравнений с параметрами. Рассмотрим различные методы решения параметрического уравнения.
Пример: При каком значении параметра a уравнение имеет один корень
1 способ (функциональный метод):
График квадратичной функции (парабола) имеет с осью Ох только одну общую точку, если дискриминант равен нулю:
2 способ (графический метод):
Преобразуем уравнение
|
Построим графики функций и . Как известно, график функции у=а – представляет собой прямую, параллельную оси Ох и проходящую через у=а. Следовательно, необходимо найти, при каком значении а парабола и прямая у2 имеет одну точку пересечения. |
3 способ (аналитический метод):
Используем теорему Виету, учитывая тот факт, что уравнение имеет два одинаковых корня х1=х2=x:
Ответ. При а=2 уравнение имеет только одно решение.
Уравнения с параметрами позволяют проверить уровень знаний по различным разделам школьного курса математики. Такие задания требуют хорошего логического мышления, обладания навыками исследовательской деятельности, умением аргументировать свои действия и выводы. Тем самым можно предположить, что решение уравнений с параметрами способствует развитию мышления учащихся.
Впервые учащихся можно познакомить с параметрами при изучении линейных уравнений.
Пример: При каких значении параметра а корень уравнения 2х=а будет целым числом?
Ответ. При четном значении а.
В дальнейшем решению уравнений с параметрами следует уделять больше внимания, особенно в рамках подготовки к Итоговой аттестации, знакомить учащихся с различными типами и методами решений уравнений с параметрами. Решение указанных уравнений требует, по мнению Воистиновой Г.Х. и Юлбарисовой Ю.Ш. [2], развитых приемов анализа и синтеза; хорошего знания свойств функций, уравнений и неравенств, умения выполнять алгебраические преобразования и т. д., а также знания специальных формул и методов, с помощью которых можно решить уравнения [6].
Таким образом, обучение решению уравнений с параметрами играет важную роль в школьном курсе математики. Формируя навыки логического мышления, аргументации своих действий, систематизации своих знаний, решение уравнений с параметрами развивает мышление учащихся. Поэтому знакомить учащихся с понятием параметрам можно и нужно уже на начальном этапе обучения алгебре.
Список используемых источников:
Балашова, К.В., Сергушкин, И.А. Приемы и методы решения задач с параметром: сб. тр. науч. конференции // Студенческий научный форум. – 2019. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://scienceforum.ru/2018/article/2018003513.
Воистинова Г.Х., Юлбарисова Ю.Ш. Анализ и синтез при решении параметрических уравнений // Научно-практический электронный журнал «Аллея науки». – 2019. – Т. 1. – № 1 (28). – С. 857-862.
Кокарева, А.М., Яковенко, И.В. Методика решения уравнений с параметрами на уроках математики // Вестник Таганрогского института имени А.П. Чехова. – 2019. – №1 – С. 341-347.
Мугаллимова, С.Р. Учим решать уравнения и неравенства с параметром // Концепт. – 2016. – №7. – С. 52-61.
Салихова, Г.И., Каримова, Г.Р. Уравнения, содержащие параметры и методика их изучения в средней школе // Инновационная наука. – 2017. – №4-2. – С. 135-136.
Сапегин, В.А. Методические особенности организации элективного курса по математике «уравнения и неравенства с параметрами» в основной школе // Педагогический опыт: от теории к практике: сб. науч. тр. – Чебоксары: Интерактив плюс, 2019. – С. 109-112.
Севрюков, П.Ф. Относительно простые задачи с параметрами // Аллея науки. – 2018. - №7. – С. 355-367.
Сущинский, В.П. Задачи с параметром как средство развития исследовательских умений учащихся // Вопросы математики, ее истории и методики преподавания в учебно-исследовательских работах: сб. матер. науч.-практ. конф. / Под общей редакцией А.Ю. Скорняковой. – Пермь:ПГГПУ, 2019. – С. 61-62.
Токарева, В.А. Обучение графическим методам решения различных видов уравнений с параметрами // Вопросы математики, ее истории и методики преподавания в учебно-исследовательских работах: сб. матер. науч.-практ. конф. / Под общей редакцией А.Ю. Скорняковой. – Пермь:ПГГПУ, 2019. – С. 63-64.