XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

С 1939 по 2019 годы численность постоянного населения Краснодарского края увеличилась почти в два раза (на 2 млн 759 тыс. человек). Этот показатель стабильно растёт, и в настоящий момент в регионе проживает 5 млн 650 тысяч человек. Причём, рост населения идёт в основном за счёт миграции.

Как сообщает региональный Росстат, в период с 1939 по 2019 годы Кубань остается регионом привлекательным для миграции как внутрироссийской, так и из стран ближнего зарубежья. 

Мигранты в основном селятся в крупных городах. Здесь население выросло в четыре раза, а в сельских поселениях только на 17%. Краснодар — город мигрантов. Краснодар показывает наибольший прирост населения среди всех городов Юга России. Его население выросло в 60 раз!

По данным Росстата, в 1871 году в Екатеринодаре проживали 17,6 тысяч горожан. В 1920 году городское население увеличилось в 8 раз. В 1970 году численность населения кубанской столицы перевалила за 500 тысяч.

Затем ежегодно до 2011 года в городе появлялись по 100 тысяч новых жителей. В этом году Краснодар считается городом-миллионником, по данным Росстата. В ведомстве обещают уточнить эту цифру после Всероссийской переписи населения в 2020 году.

Актуальностью моей работы является анализ количества мигрантов в Краснодарском крае, так как в большей степени они образовывают прирост в населении.

Ввиду того, что предметом изучения эконометрики является изучение этой количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа, необходимо определить факторы, оказывающие наиболее существенное влияние на численность населения Краснодарского края. Конечно, на численность населения влияет ряд факторов, такие как уровень валового регионального продукта и величина средней зарплаты на душу населения.

Целью данной работы является составление эконометрической модели зависимости численности населения Краснодарского края от объёма ВРП и средней зарплаты на душу населенияи анализ данной модели относительно применимости ее на практике.

В соответствии с целью, можно выделить ряд задач:

1. Анализ связи между переменными;

2. Составление спецификации модели;

3. Проверка модели на адекватность и качество спецификации;

4. Проверка справедливости предпосылок теоремы Гаусса-Маркова;

5. Формулировка выводов относительно возможности применения модели на практике.

Таким образом, в данной работе будет проведен детальный теоретический анализ проблемы, который в сопоставлении с выводами математики и статистики, основанными на данных Росстата, позволит не только проанализировать текущее положение дел, но и сделать прогнозы в данной сфере.

1. Определение взаимосвязи между численностью населения и её факторами

Перед непосредственным построением эконометрической модели, необходимо обозначить переменные, которые будут в ней использованы.

Численность населения Краснодарского края был выбран в качестве эндогенной переменной для построения модели. В данном ключе необходимо обосновать не просто выбор данной переменной, но и роль численности населения в экономической ситуации региона. Городское население Краснодарского края постоянно изменяется. Так, одни города развиваются опережающими темпами (например, Краснодар, Новороссийск, Сочи). Другие находятся в состоянии застоя (например, Апшеронск, Гулькевичи, Кропоткин, Курганинск, Новокубанск, Темрюк), третьи теряют свое население и постепенно превращаются в села (Крымск, Лабинск, Приморско-Ахтарск).

В территориальной организации расселения Краснодарского края есть своя особенность. Она заключается в высокой концентрации административных, финансовых, промышленных и торговых предприятий в одном городе региона – Краснодаре и фактически остаточном подходе к развитию малых и средних го- родов, что обусловило моноцентрический характер краевой системы расселения. При моноцентрической сети городских поселений, при которой на фоне равномерного распределения небольших городов выделяется один центр – Краснодар.

Результатом быстрого увеличения городского населения Краснодарского края стало значительное повышение плотности населения, которое в 2014 г. составляло 71,59 тыс. чел на 1 км². Плотность городского населения

При анализе структуры экономики малых городов края был использован показатель «численность занятых» в различных отраслях (на основе баланса трудовых ресурсов). Следует отметить сложности получения необходимых информационных данных для исследования состояния малых городов Краснодарского края. Из 11 малых городов края только один – Горячий Ключ – является муниципальным образованием городской округ. Остальные 10 малых городов – это городские поселения в составе муниципальных районов. Официальная статистика представляет данные по городским округам и муниципальным районам, но по городским и сельским поселениям она крайне ограничена.

2. Составление спецификации модели

Итак, как становится понятно из выбранных для использования в модели переменных, в данной работе будет рассматриваться простейшая модель линейной парной регрессии, которая в общем виде записывается как:

Y = a₀ + a₁*X1+ a₂*X2 + u, где

Y – зависимая величина, состоящая из неслучайной составляющей (а₀+а₁Х, где Х – объясняющая (независимая) переменная, а а₀ и а₁ – параметры уравнения) и случайного члена u.

В нашем случае в качестве переменной Y будет выступать численность населения Краснодарского края, а Х1 – объем ВРП, Х2-средняя зарплата на душу населения.

Стоит отдельно остановиться на случайном члене. Его существование обусловлено тем, что часто невозможно включить в модель все факторы, которые оказывают влияние на эндогенные переменные. Случайные остатки помогают выявить наличие тех или иных ошибок в построении модели.

Важным условием при составлении эконометрической модели является учет временного фактора.

Так, наша модель принимает вид:

Y_t = a₀ + a₁*X_1t+ a₂*X_2t + u_t

Так, на основе полученных данных, можно записать финальный вид модели:

Целью регрессионного анализа является объяснение поведения зависимой переменной Y_t. В любой данной выборке Y_t оказывается сравнительно низким в одних наблюдениях и сравнительно высоким — в других. Мы хотим определить причинно-следственные связи этого явления.

Для определения качественности модели необходимо вычислить коэффициент детерминации R². Разложим дисперсию I_i, учитывая, что ковариация ŷ_iие_rравна нулю получим.

; ;

Максимальное значение коэффициента R² равно единице. Это происходит в том случае, когда линия регрессии точно соответствует всем наблюдениям, так что I_i= ŷ_iдля всех i и все остатки равны нулю. Тогда

Var (у) = Var (ŷ_i), Var (e_r) = 0 и R²=1.

Если в выборке отсутствует видимая связь между I и , то коэффициент R² будет близок к нулю. Чем больше R², тем более качественной является модель. На практике коэффициент детерминации вычисляют с помощью функции Excel ЛИНЕЙН, которая дает результаты в виде таблицы размером n x 5 (n равно количеству столбцов данных статистики, в нашем случае n=2).

R2
F
TSS	ESS

3. Теорема Гаусса-Маркова

Свойства коэффициентов регрессии в значительной степени зависят от свойств случайного члена. Для того, чтобы регрессионный анализ давал наилучшие результаты, случайный член должен удовлетворять четырем предпосылкам теоремы Гаусса-Маркова. Если корректирующие действия возможны, то аналитик должен быть в состоянии их выполнить. Если ситуацию исправить невозможно, исследователь должен быть способен оценить, насколько серьезно это может повлиять на результаты.

Первая предпосылка теоремы Гаусса—Маркова заключается в том, что математическое ожидание E(u_t) = 0 для всех наблюдений. Иногда случайный член будет положительным, иногда отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения ни в одном из двух возможных направлений. Данное условие означает, что случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную. Для проверки данной предпосылки необходимо провести F-тест, то есть проверить качество регрессии.

Вторая предпосылка теоремы Гаусса-Маркова заключается в том, что дисперсия Var (u_t) = σ_u² и постоянна для всех наблюдений. Для проверки этой предпосылки, а также гомоскедастичности случайных остатков, используется тест Голдфелда-Квандта.

Третья предпосылка – Сov (u_i;u_j) = 0 (i≠j) – говорит о том, что случайные остатки независимы друг от друга. Если данное условие выполняется, то говорят об отсутствии автокорреляции. Проверка данной предпосылки осуществляется при помощи теста Дарбина-Уотсона.

Четвертая предпосылка – cov (u_i; x_ki) = 0 – говорит о том, что случайное отклонение должно быть независимо от объясняющей переменной. Это условие выполняется, если объясняющая переменная не случайна в данной модели.

При соблюдении вышеперечисленных предпосылок оценки, полученные по МНК, являются несмещенными (отсутствует систематическая ошибка при определении положения линии регрессии), состоятельными (с ростом объёма выборки растёт надежность оценок) и эффективными (имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров, линейными относительно величин Y_i).

Для построения эконометрических моделей необходимо придерживаться общей схемы:

1. Построение спецификации модели.

2. Сбор статистических данных по всем переменным модели кроме случайных.

3. Вычисление (оценка) значений всех параметров модели.

4. Проверка адекватности оцененной модели, ее качества и выполнения предпосылок теоремы Гаусса-Маркова.

4. Оценивание параметров модели и анализ качества спецификации

Итак, мы имеем модель зависимости численности населения Краснодарского края от средней зарплаты и объёма ВРП:

Для оценки параметров данной модели из статистики, приведенной в Таблице 1, возьмем обучающую выборку в размере 112 наборов данных, с января 2010 года по октябрь 2019 года. Остальные 6 значени возьмем в качестве контрольной выборки.

Далее мы будем работать по обучающей выборке. По ней же проводим оценку модели методом наименьших квадратов в Excel при помощи функции ЛИНЕЙН. Получаем набор оценок параметров:

То есть оцененный вид модели записывается следующим образом:

Как видим, стандартные ошибки коэффициента a₁ находятся на достаточно низком уровне, однако мы видим достаточно высокий уровень у a₀, что заставляет нас предполагать, что модель не пройдет все тесты.

Для того, чтобы провести исследование качества регрессии, необходимо провести R²-тест и F-тест для обучающей выборки.

Начнем с R²-теста. Коэффициент детерминации R² получаем из результатов функции ЛИНЕЙН. В данном случае он равен 0,9861, что говорит о высоком уровне связи между эндогенной и экзогенной переменными, так как R² при округлении до десятых входит в промежуток от 0,7 до 1. Значение коэффициента говорит о том, что уравнением регрессии объясняется приблизительно 98,61% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится 1,39% её дисперсии (остаточная дисперсия). Следовательно, модель является приемлемой по качеству.

В F-тесте мы сравниваем значения F, полученного при расчете функции ЛИНЕЙН, и F критического, полученного путем расчета в Excel через функцию =F.ОБР.ПХ(α=0,05; v₁=k=2; v₂=n-(k+1)=108).

Так, F = 3884,9418, что больше F_кр, равного 3,0796. Из этого следует, что спецификация является качественной.

Итак, оба теста подтвердили качественность данной спецификации.

5. Исследование предпосылок теоремы Гаусса-Маркова

Первая предпосылка теоремы Гаусса-Маркова гласит, что математическое ожидание случайных возмущений во всех наблюдениях равно нулю:

E(u_t) = 0

Для того, чтобы выполнялось данное условие, необходимо, чтобы:

≈ 0

Для проверки предпосылки рассчитаем для t = 1; 2; 3 … 112, используя формулу получаем значения .

Считаем =-0,0000000001746≈ 0. Значит, первая предпосылка теоремы Гаусса-Маркова выполняется.

Вторая предпосылка теоремы гласит, что дисперсия случайных возмущений во всех равна константе, то есть:

Var (u_t) = σ_u²

Для проверки данной предпосылки проведем тест Голдфелда-Квандта.

Сперва упорядочим наблюдения по возрастанию регрессора П.

Разделим массив на две равные части: n'=112/2=56 (условие n' > k+1 выполнено, так как k=2)

По первым упорядоченным уравнениям оценим методом минимальных квадратов модель и вычислим = 18057,71. Аналогично по последним упорядоченным уравнениям вычислим =13462,3021.

Рассчитаем по формулам значение статистики GQ:

GQ = = 1,3414

= = 0,7455

Рассчитаем

Так как и , то вторая предпосылка теоремы выполняется. Значит, проявляется гомоскедастичность случайных остатков, а также это указывает на адекватность модели.

Третья предпосылка теоремы гласит, что ковариация между парами случайных возмущений в наблюдениях равны нулю, то есть случайные возмущения в наблюдениях независимы:

Сov (ui ;uj) = 0 (i≠j)

Для подтверждения данной предпосылки проведем тест Дарбина-Уотсона. Сначала необходимо рассчитать значение статистики DW:

DW = = 0,78252

Для вычисления статистики мы воспользовались данными из Таблицы 2.

Теперь по параметрам n = 100 и k=2 определяем (d_L; d_U) по таблице, приведенной в учебнике: d_L=1,63; d_U=1,72.

Построим интервалы:

Значение статистики DW попадает в интервал М1, что говорит о существовании связи, наличии автокорреляции случайных остатков, то есть
Сov (ui ;uj) > 0 (i≠j). Третья предпосылка теоремы не выполняется.

Данный тест показал нам, что между случайными остатками существует положительная автокорреляция. Это может свидетельствовать о том, что имеются еще факторы, которые оказывают влияние на численность населения Краснодарского края. В данном случае их также стоило бы добавить в модель, но определить истинные причины регионально-экономических решений достаточно сложно.

Четвертая предпосылка теоремы заключается в том, что ковариация между вектором регрессоров и вектором случайных переменных равна нулю, то есть регрессоры и случайные возмущения независимы.

Cov (u_i; x_ki) = 0

Так как x_ki – константа, то это априори справедливо.

То есть четвертая предпосылка теоремы Гаусса-Маркова выполняется.

Таким образом, все, кроме третьей, предпосылки теоремы Гаусса-Маркова выполняются.

6. Проверка модели на адекватность

Проверим адекватность модели при помощи метода интервального прогнозирования. В качестве контролирующей выборки были взять данные с января 2010 года по март 2019 года (6 наборов - 5% из 118):

Метод интервального прогнозирования заключается в сравнении показателя I_t из контрольного набора с интервалом, граничными значениями, которого являются и . Данные значения определяются по следующим формулам:

где:

– оцененное значение эндогенной переменной для контролирующей выборки

_. – критическое значение функции, распределённой по закону Стьюдента, рассчитываемое в Excel по формуле СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х (α = 0,05; v₂ = 48) = 1,98197

– средняя квадратическая ошибка прогноза, рассчитываемая по формуле:

Для начала найдем оцененные значения I_t по всем наборам значений контролирующей выборки:

Код для цитирования: Скопировать