XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

В последнее время широкое распространение получили пакеты математических программ (или математические системы), которые можно использовать для различных вычислений и вычерчивания графиков (Mathematica, Derive, Statistica, MathCAD, MathLAB и др.). В этих системах процесс вычислений сильно автоматизирован, что позволяет экономить время и больше внимания уделять физическому смыслу получаемого результата. Выбор системы зависит от характера решаемых задач, от вкуса, от практики. Дифференциальные уравнения являются основой огромного количества расчетных задач из самых различных областей науки и техники.

Применение компьютера, как в начале истории ЭВМ, так и поныне, в основном, заключается в математических и научно-технических вычислениях. Компьютер сам по себе не упрощает математические расчеты, а лишь позволяет существенно повысить скорость их выполнения и сложность решаемых задач, в том числе с использованием удобного ввода исходных данных и вывода результатов. В конце 90-х годов двадцатого века с появление новых высокопроизводительных персональных ЭВМ появился новый класс прикладного программного обеспечения - интегрированные математические программные системы для научно-технических расчетов, такие как: Mathematica, MathCAD,  MathLAB. Главное их преимущество перед классическими системами программирования заключалось в том, что необходимые для решения задач численного моделирования функции и процедуры уже входили в их состав, а также в них изначально был использован интуитивный и понятный пользовательский интерфейс, ориентированный на ученых и инженеров. Большое число подобных разработок свидетельствует о значительном интересе к ним во всем мире и бурном развитии компьютерных математических систем.

Рассмотрим системы Mathematica, MathCAD, MathLABориентированные на массового пользователя - от ученика начальных классов до академика. Актуальность данной темы «Решение однородных дифференциальных уравнений в СКМ» определяется её огромным прикладным значением, её ролью и местом в вузовском курсе информатики и математики, а также для решения задач разного типа.

Целью данной статьи является изучение математических пакетов как средства решения однородных дифференциальных уравнений (первой и второй степени) и реализация с их помощью нескольких конкретных примеров и их реализация в виде интерактивного документ.

Для этого необходимо выполнить следующие задачи:

 изучить основные возможности математических пакетов применительно к решению однородных дифференциальных уравнений;

 проанализировать несколько типов задач с однородными дифференциальными уравнениями, которые возможно решить средствами данных математических пакетов в рамках данной статьи;

 реализовать эти задачи средствами математических пакетов.

Рассмотрим несколько примеров однородных дифференциальных уравнений.

Пример 1. Решение однородного дифференциального уравнения средствами математического пакета MathCAD.

Пример 2. Решение однородного дифференциального уравнения средствами математического пакета MATHEMATICA.

Показать, что уравнение (x+y)dx-xdy=0 – однородное и решить его. Обозначим M(x,y) = x+y и N(x,y) = -x.Так как M(tx,ty)=(tx)+(ty)=t(x+y) =tM(x,y) и N(tx,ty) = -tx=tN(x,y), уравнение (x+y)dx-xdy=0 – однородное уравнение первой степени.

Решим его, используя функцию DSolve, и получим общее решение:

Пример 3. Решение однородного дифференциального уравнения средствами математического пакета MATHEMATICA.

Обозначим . Проверим уравнение на однородность:

Вынесем t в некоторой степени из выражения stepone, используя функцию Collect:

Повторим эти же действия, для capn:

Таким образом, исходное уравнение – однородное уравнение 1-ой степени. Применим функцию DSolve для решения уравнения:

Получим два решения. Однако мы можем решить исходное уравнение, используя стандартный алгоритм решения однородных уравнений, то есть сде-лать замену переменных и привести уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Реализуем этот алгоритм в пакете Mathematica.

Определим левую часть уравнения. Заметим, что функция Dt[x] соответствует dx, а Dt[y] –dy:

Сделаем замену y=ux, где u – новая искомая функция:

Скомбинируем слагаемые с Dt[x], Dt[u] и выделим в них отдельно множители, зависящие от x и u:

Далее мы можем решить уравнение как уравнение с разделяющимися переменными. Для этого выделим те части уравнения, на которые нужно поделить для разделения переменных:

Разделим переменные:

Если приравнять это выражение к нулю, то это уравнение будет эквивалентно уравнению с разделяющимися переменными . Проинтегрируем обе части полученного выражения:

Сделаем обратную замену переменных и запишем решение исходного уравнения:

Таким образом, мы получили общее решение исходного уравнения в виде где c – произвольная константа.

Разобранные примеры показывают возможности пакетов математических программ. Полученные в результате выполнения рабочие листы можно использовать для решения типовых уравнений с разными числовыми коэффициентами. Данные задачи можно использовать на интегрированных курсах по математике и информатике.

Список литературы:

Воробьёв Е. М. Введение в систему Mathematica. М.: Финансы и статистика, 1997.

Гюнтер, Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных / Н.М. Гюнтер. - Москва: Огни, 1934. - 632 c.

Назимов, П.С. Об интегрировании дифференциальных уравнений / П.С. Назимов. - Москва: СИНТЕГ, 1982. - 388 c.

Очков В.Ф. Мультимедийный обучающий курс по Mathcad 13. Курс создан на фирме Мультимедиа Технологии – (495) 673-76-92, www.mmt-dl.ru

Код для цитирования: Скопировать