XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Для решения прикладных задач плоской теории упругости необходимо знать соответствующие формулы расчёта напряжений при деформации образца.

С этой целью авторы разработали интерактивный обучающий документ (ИОД), в котором размещаются все необходимые формулировки, формулы, выводы некоторых из формул. Обучающиеся, изучая ИОД, анализируют приведённую информацию. При этом у студентов имеется возможность задавать авторам вопросы, высказывать предложения по расположению учебного материала, делать замечания. В случае обнаружения ошибки предлагать исправления. Очевидно, что в приведённой выше деятельности обучающихся присутствуют все признаки научно-исследовательской работы студентов ([1]).

При решении конкретных прикладных задач плоской теории упругости широко используются степенные ряды и ряды Фурье в комплексной форме, поэтому ниже приведены основные сведения из теории этих рядов.

Любая функция f(z), аналитическая в некотором круге , может быть единственным образом представлена внутри этого круга рядом Тейлора (А. И. Маркушевич [2]):

, (1)

где

, . (2)

Внутри круга ряд сходится абсолютно и равномерно, а для его коэффициентов справедливы неравенства Коши:

, . (3)

Ряд Лорана представляет собой ряд более общего типа. Всякая f(z), аналитическая в кольце , единственным образом может быть представлена в нём абсолютно и равномерно сходящимся рядом Лорана:

, (4)

где

,

Для коэффициентов справедливы оценки:

, .      (5)

Если действительная функция f(), заданная на промежутке 0<<2, удовлетворяет условиям Дирихле, то её можно представить в виде ряда Фурье:

, .    (6)

Если функция f() непрерывна и имеет непрерывные производные до (n-1)-го порядка включительно в промежутке 0<<2 и, кроме того, n-ая производная удовлетворяет условиям Дирихле в том же промежутке, то ряд Фурье равномерно и абсолютно сходится, а коэффициенты удовлетворяют неравенствам вида:

, (7)

где M – некоторая положительная постоянная (В. И. Смирнов [3]).

В качестве частного случая операций, выполняемых над функциями, представленными в виде сумм абсолютно и равномерно сходящихся рядов по полиномам Фабера, можно получить соответствующие формулы для перемножения и возведения в степень рядов Фурье в комплексной форме (В. Г. Кичигин [4]):

,

, (8)

где , =1, =1.

Для случая возведения в степень рядов Фурье:

, (n=1, 2, ...), (9)

где

, .

При этом ряды для произведения функций и возведения в степень сходятся абсолютно и равномерно, а ряды коэффициентов с_k и сходятся абсолютно.

Приведём также некоторые полезные в дальнейшем формулы, которые являются следствием предыдущих (либо доказываются аналогично):

, (10)

где

;

,

; (11)

,

; (12)

,

,

;       (13)

,

,

,      (14)

где введены обозначения:

; ; ,

,

,

.       (15)

,

,

,       (16)

где

; .

Приведённые выше формулы позволяют решить большинство прикладных задач плоской теории упругости. ИОД построен на применении нестандартного математического анализа ([5]) и имеет целью формирование профессиональных компетенций бакалавров в техническом вузе ([6]). Практически все обучающиеся участвуют в подготовке исправленного или корректированного ИОД. Тем самым повышается мотивация к изучению учебного материала, формируются умения и навыки проведения научно-исследовательской работы студентов.

Список использованной литературы:

1. Смольняков И.М., Часов К.В. Формирование НИР студентов посредством информационной образовательной среды // Материалы VI Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум» URL: https://scienceforum.ru/2014/article/2014007495 (дата обращения: 10.01.2020).

2. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. т.I, т.II, М., Изд-во «Наука», 1967, 1969.

3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М-Л., т.I, т.II, ГИТТЛ, 1952, 1956.

4. Кичигин В.Г. Упругое равновесие изотропной пластинки с конечным числом эллиптических отверстий подкреплённых неширокими кольцами. Тр. Николаевского кораблестр. Ин-та, в.25, 1968.

5. Неверов А.В. Элементы нестандартного анализа как эффективное дидактическое средство дальнейшег о совершенствования развивающего обучения математике: дис.... канд. пед. наук: 13.00.02 -Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)/Дагестанский гос. пед. ун-т. Махачкала, 2000. 176 с.

6. Паврозин А.В. ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ НА ПРИМЕРЕ ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ // Электронный сетевой политематический журнал "Научные труды КубГТУ". 2014. № S4. С. 197-200.

Код для цитирования: Скопировать