XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Теория упругости имеет основополагающее значение для образования бакалавров технических направлений. Практически все выводы и положения этой теории применяются во всех последующих дисциплинах этих направлений, а также во время выполнения курсовых работ, проектов и выпускной квалификационной работы. Сама же теория упругости консолидирует в себе выводы и положения всех естественнонаучных дисциплин, изучаемых на первом и втором курсе. Для более глубокого изучения теории упругости авторы предлагают использовать интерактивные обучающие документы (ИОД).

С этой целью в ИОД помещается информация об исследовании напряжённого состояния пластинок, имеющих в зоне отверстия локальные изменения своей толщины, при решении задач подкрепления отверстий упругими кольцами или накладками. Для этого широко применяется метод сглаживания контура, предложенный В. И. Тульчием [1].

Сущность его заключается в следующем. Предположим, что имеется пластинка толщиной h с отверстием, ограниченным некоторой замкнутой кривой L (Рис. 1). Охватим кривую L более гладким контуром , который примем за направляющую цилиндрической поверхности (образующие этой поверхности перпендикулярны срединной плоскости пластинки), вырезающей из пластинки некоторое неширокое кольцо, которое будем называть кольцом сглаживания. Область, занимаемую остальной частью пластинки, обозначим .

Рис. 1. Кольцо сглаживания

Будем считать, что пластинка находится в обобщённом плоском напряжённом состоянии. Формулами плоской теории упругости опишем напряжённое состояние области пластинки , а формулами теории плоского кривого бруса – кольца сглаживания. Примем срединную плоскость пластинки за координатную Oxy и одновременно с нею будем рассматривать координатную систему, определяемую ортом внешней нормали и ортом касательной .

Рассматривая первую основную граничную задачу, по внешним напряжениям, действующим на поверхность пластинки и приложенным к контуру L, найдем упругое равновесие тела. Для этого из условий упругого равновесия бесконечно малого элемента кольца сглаживания, выделенного двумя поперечными сечениями (Рис. 2), находим (формулы 1):

Рис. 2. Бесконечно малый элемент кольца сглаживания

,

,  (1)

,

где ₁ и r – радиусы кривизны соответственно контуров L, L₁и осевой линии кольца сглаживания,  – угол между нормалью к L и осью Ox; F, Q и M – соответственно растягивающая, перерезывающая силы и изгибающий момент в поперечном сечении кольца; p и q – проекции напряжений, вызванных внешними силами, приложенными вдоль оси L, соответственно на нормаль и касательную к L; _n и _n – нормальная и касательная компоненты напряжений в пластинке вдоль контура L₁.

Из равенств (1) получим:

,       (2)

.      (3)

Обозначим через u и v компоненты смещения по осям Ox и Oy, тогда вдоль контура L₁ получим соотношения

, (4)

где u⁺ и v⁺ – граничные значения смещений u и v при подходе к L₁ со стороны пластинки, а u^- и v^- – граничные значения u и v при подходе к L₁ со стороны кольца.

Зависимость между относительным удлинением s) элемента ds контура L, углом поворота s вектора при деформации и компонентами перемещений u^- и v^- такова (М. П. Шереметьев [2])

, (5)

где  – угол между внешней нормалью к L и осью Ox.

Из уравнения (5) получаем:

, (6)

где C^* – произвольная комплексная постоянная.

Вдоль контура L₁ должно выполняться соотношение

.      (7)

Здесь  – угол между нормалью к L и осью Ox, отсчитываемый от последней по часовой стрелке. Причём  =   , если L – внутренний контур, и  = , если L – внешний контур.

Левые части равенств (4) и (7) можно выразить через комплексные потенциалы z и z) (Н. И. Мусхелишвили [3]). Запишем левые части равенств (2) и (6) в форме:

,

ж , , (8)

где  – модуль сдвига, ж= ,  – коэффициент Пуассона, C₁ и C₂ – произвольные постоянные и введено обозначение

. (9)

Правые части равенств (8) связаны между собой соотношением (3) и законом Гука для кривого бруса (см. например, С. П. Тимошенко [4], ч. I, стр. 308)

,

, (10)

где E – модуль упругости, S – площадь поперечного сечения кольца сглаживания, J – геометрическая характеристика формы поперечного сечения кольца, определяемая по формуле (2). Уравнения (8), (3) и (10) являются исходными при решении первой основной задачи методом сглаживания контура.

При решении некоторых конкретных задач, иногда вместо (8) удобнее пользоваться соотношениями, которые получаются из (8) после дифференцирования по s:

,

ж ,    (11)

где

, .

Разработка ИОД по изучению метода сглаживания контура проходит в активном и интерактивном режиме. Документ открыт для изменений и корректировки. Подобная активная работа студентов по разработке и поддержке указанного УДЕ чаще всего значит намного больше, чем эмоциональное изложение лектором указанного учебного материала с мелом и тряпкой у школьной доски. В этом проявляется нестандартный подход к математическому анализу граничных задач теории упругости ([5]). Подготовка ИОД, несомненно, способствует ([6]) формированию профессиональных компетенций на примере подготовки бакалавров в техническом вузе.

Список использованной литературы:

1. Савин Г.Н., Тульчий В.И. Пластинки, подкреплённые составными кольцами и упругими накладками. Киев. Наукова думка. 1971.

2. Шереметьев М.П. Пластинки с подкреплённым краем. Изд-во ЛГУ, 1960.

3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.-Л. Изд-во Академии наук СССР. 1949.

4. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. т.1, 2, М. Изд-во «Наука», 1965.

5. Неверов А.В. Элементы нестандартного анализа как эффективное дидактическое средство дальнейшего совершенствования развивающего обучения математике: дис.... канд. пед. наук: 13.00.02 -Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)/Дагестанский гос. пед. ун-т. Махачкала, 2000. 176 с.

6. Паврозин А.В. ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ НА ПРИМЕРЕ ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ // Электронный сетевой политематический журнал "Научные труды КубГТУ". 2014. № S4. С. 197-200.