XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Исследование задач плоской теории упругости имеет большое значение для будущего бакалавра. Поэтому нами был подготовлен интерактивный обучающий документ (ИОД) по исследованию напряжений в бесконечной пластинке с отверстиями. В документе приводится математическая модель с изображением самой пластинки с отверстиями и формулы, связывающие напряжения в материале, ослабленном отверстиями, и его параметры. Во время изучения напряжений, возникающих при различных видах деформаций в плоских бесконечных пластинках, ослабленных отверстиями, используют формулы Колосова-Мусхелишвили ([1]). Данные формулы связывают между собой напряжения в пластинке и функции, которые называют регулирующими функциями, являющиеся комплексными потенциалами (z) и (z):

.   (1)

Рассмотрим бесконечную пластинку с отверстиями (рис. 1) и соответствующими ограниченными замкнутыми контурами L₁, L₂, ... ,L_n, L_n+1, причем последний уходит в бесконечность. Эти контуры представляют собой многосвязную область, изучение которых очень важно для приложений плоской теории упругости.

Рис. 1. Бесконечная пластинка с отверстиями

Запишем выражения для комплексных потенциалов (z) и (z), считая компоненты X и Y главного вектора внешних усилий, приложенных к границе многосвязной области, ограниченными во всей области S (Н.И.Мусхелишвили [2]):

,

,     (2)

где ₀(z) и ₀(z) – правильные функции в окрестности бесконечно удалённой точки, т. е. функции, имеющие для достаточно больших z разложения вида

, ,  (3)

причем - комплексные постоянные; постоянные и характеризуют напряжённое состояние пластинки на бесконечности:

, . (4)

Последние формулы можно переписать иначе, обозначая через N₁ и N₂ главные напряжения на бесконечности,  – угол между N₁ и осью Ox, а также, используя формулу, связывающую компоненты тензора напряжений в различных системах координат:

,

,   (5)

тогда и :

, . (6)

Вводя обозначения:

, ,   (7)

соотношения (1) перепишем так:

,

    (8)

Наиболее важными методами решения задач плоской теории упругости является метод конформного отображения и метод интеграла Коши. Будем использовать метод конформного отображения. Рассмотрим для этого некоторую функцию , осуществляющую конформное отображение внешности контура L на плоскости z на внешность единичной окружности =1 плоскости , в которой введена полярная система координат 

,

где величины  и  можно рассматривать как криволинейные координаты точек плоскости z. При этом формулы (8) примут вид (Н.И.Мусхелишвили [2]):

,

, (9)

причем

, .

Обучающиеся, знакомясь с представленным ИОД, в самостоятельном режиме изучают основные положения плоской теории упругости. Именно после такого изучения учебного материала студенты предлагают подкреплять отверстия на пластинках неширокими упругими кольцами (типа плоского кривого бруса), наплывами, накладками с целью снизить концентрацию напряжений около этих отверстий. Тем самым, учебно-исследовательская работа студентов неизбежно переходит в разряд научно-исследовательской ([3]). В результате дидактические единицы, изучаемые обучающимися из разряда укрупнённых дидактических единиц перерастают в обобщённые укрупнённые дидактические единицы ([4]), учитывая необходимость в знании очень большого количества сопутствующего учебного материала. Практически все формулы в ИОД и соответствующей теории логически взаимосвязаны, невозможно представить себе, что какая-либо формула выпадет из рассуждений – сразу возникает разрыв в логической цепочке выкладок. Само участие в подготовке аналогичного ИОД – развитие логического мышления студентов.

Список использованной литературы:

1. Савин Г.Н., Тульчий В.И. Пластинки, подкреплённые составными кольцами и упругими накладками. Киев. Наукова думка. 1971.

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.-Л. Изд-во Академии наук СССР. 1949.

3. Смольняков И.М., Часов К.В. Формирование НИР студентов посредством информационной образовательной среды // Материалы VI Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум» URL: https://scienceforum.ru/2014/article/2014007495 (дата обращения: 10.01.2020).

4. Часов К.В. и др. Обобщённые укрупнённые дидактические единицы – компонент проблемного обучения на занятиях по математике // Часов К.В., Неверов А.В., Тульчий В.В. / НИИ Высшего Обр.- № 87-98 депон. от 27.04.98.