XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Учитывая, что оборудование в электроэнергетике и электротехнике, как и любое другое техническое и технологическое оборудование, состоит из собираемых конструкций, то, естественно, оно будет содержать технологические отверстия различных форм и назначения. Указанные отверстия, выполняя важную функцию для производственного процесса, являются фактором, ослабляющим конструкцию. Поэтому и появляется необходимость в подкреплении технологических отверстий, чтобы избежать разрушения конструкций.

Рассмотрим некоторые основные теоретические положения плоской теории упругости. А именно – основные уравнения плоской задачи теории упругости для изотропной среды. Понятно, что в плоской задаче теории упругости объемные силы отсутствуют.

Учитывая разнообразие тел, составляющих конструкции, в нашем исследовании мы решили рассматривать так называемые идеализированные объекты вместо реальных тел. Тем самым, построим механические модели соответствующих напряжений.

Поведение элементов конструкций при деформировании будем описывать с помощью уравнений, показывающих, какие напряжения появляются в материале.

Для данного случая, как известно (Н.И.Мусхелишвили [1]), имеем два уравнения, связывающие компоненты тензора напряжений _x, _y, _xy между собой:

;    (1)

Но для решения плоской задачи только этих уравнений не хватает. Необходимо третье уравнение, заменяющее шесть условий совместимости Beltrami-Michell’a. Оно выражает условие, которое должно соблюдаться для того, чтобы к функциям _x, _y, _xy (из уравнений (1)), можно было подобрать функции u и v, связанные с _x, _y, _xy соотношениями:

,           (2)

где   (3)

и – некоторые коэффициенты, связывающие напряжения и деформации.

Выводя это третье уравнение для плоской задачи (отсутствие объёмных сил) получим уравнение:

,

где – операция Лапласа для двух переменных:

,

и тогда,

(4)

Итак, уравнения (1) и уравнение (4) выражают условия совместимости в плоской теории упругости, в случае отсутствия объемных сил. То есть, составив из них систему, можно проинтегрировать эту систему дифференциальных уравнений относительно компонент напряжений _x, _y, _xy и получить решение задачи плоской теории упругости (Н.И.Мусхелишвили [1]):

, (5)

где u(x,y) – функция напряжений или функция Airy (G.B.Airy, 1862), связанная следующими соотношениями с компонентами напряжений:

; ;         (6)

Рассмотрим теперь некоторую плоскую пластинку достаточно малой высоты (тонкая плоская пластинка) (рис. 1).

Решение бигармонического уравнения (5) (которое называется бигармонической функцией) должно удовлетворять на границе L области S определенным граничным условиям.

Рис. 1. Плоская пластинка достаточно малой высоты

Как известно, любую бигармоническую функцию можно представить двумя аналитическими функциями комплексной переменной z = x + iy. Сама же бигармоническая функция:

, ( ), (7)

причем, Re – означает «действительная часть».

Итак, видим, что решение плоской задачи теории упругости заключается в нахождении двух аналитических функций (z) и (z)=d/dz, удовлетворяющих следующим граничным условиям (Н.И. Мусхелишвили [1]), записанным комплексным представлением напряжений и смещений:

– , ( )    (8)

связывает данные функции с напряжениями (компонентами и по осям Ox и Oy), причем S – дуга контура L, начиная от некоторой точки этого контура, C – некоторая комплексная постоянная (т.е. – первая основная задача теории упругости);

– ж , ( )     (9)

связывает искомые функции со смещениями u и v по осям Ox и Oy (т.е. – вторая основная задача теории упругости), причем – модуль сдвига для материала пластинки, кроме того

ж = (3-)/(1+)

для случая обобщённого плоского напряжённого состояния и

ж = 3-4

для случая плоской деформации,  – коэффициент Пуассона.

Таким образом, получено решение плоской задачи теории упругости, получаемое из формул (8) и (9). Данное решение может быть применено при изучении дисциплин теоретическая и техническая механика, основывающееся на применении элементов нестандартного анализа ([2]), с которым может ознакомиться любой студент, загрузив соответствующий интерактивный обучающий документ (ИОД) в информационной образовательной среде кафедры. Тот факт, что ИОД подготавливается студентами в самостоятельном режиме, то во время работы над ним происходит формирование профессиональных компетенций бакалавров ([3]), т.е. происходит взаимообмен мнениями, суждениями между ними. Несомненно, формируется культура мышления и математическая культура.

Список использованной литературы:

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.-Л. Изд-во Академии наук СССР. 1949.

2. Неверов А.В. Элементы нестандартного анализа как эффективное дидактическое средство дальнейшего совершенствования развивающего обучения математике: дис.... канд. пед. наук: 13.00.02 -Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)/Дагестанский гос. пед. ун-т. Махачкала, 2000. 176 с.

3. Паврозин А.В. ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ НА ПРИМЕРЕ ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ // Электронный сетевой политематический журнал "Научные труды КубГТУ". 2014. № S4. С. 197-200.