XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Изучая некоторые взаимосвязанные темы систем линейных уравнений, матриц, определителей, нами были выявлены интересные факты: определители квадратных матриц, составленных из коэффициентов основной матрицы системы, в случае равенства количеств уравнений и переменных, в некоторых случаях получались равными нулю.

Исследуя различные системы линейных уравнений, авторы меняли коэффициенты и обнаружили, что в случае, когда коэффициенты представляли собой члены прогрессирующих последовательностей, например, арифметических и геометрических прогрессий, определители указанных квадратных матриц давали результат равный нулю.

Наряду с указанными изысканиями авторы просматривали литературные источники. Литература из рабочей программы по математике не содержала указанный факт. Классические источники: «Введение в теорию матриц» Р.Беллман [1], «Курс высшей алгебры» А.Г.Курош [2], также не содержат полученный нами результат. Следовательно, вопрос о прогрессирующих последовательностях и квадратных матрицах (и их определителях), составленных из последовательных членов последовательностей, является актуальным. Указанное отмечено в работах [3], [4], [5].

Авторами был поставлен вопрос: какое значение определителя будет получаться для квадратной матрицы размерностью больше двух, при заполнении её элементами различных последовательностей. Таким образом, проблема состоит в следующем: установление свойства вырожденности квадратных матриц, составленных из элементов различных последовательностей ([4]).

Были поставлены цели и задачи: выявить свойства прогрессирующих последовательностей; определить класс последовательностей, обладающих аналогичными свойствами; определить значимость найденных свойств, их применения.

Ниже приводится исследование для самых различных ситуаций. Рассмотрим пример арифметической прогрессии, первый член которой 5, разность прогрессии 2 (рис. 1).

Рис. 1. Пример арифметической прогрессии, записанной в матрице

Произведём некоторые изменения: во второй строке поменяем элементы 15 и 11 – тем самым в этой строке будут записаны последовательные элементы убывающей последовательности с разностью 2, в первой и третьей строках осталась прежняя прогрессия (рис. 2, а)). Далее во 2-й строке (рис. 2, б)) записаны члены убывающей арифметической прогрессии с отрицательными членами. На рис. 2, в) во 2-м столбце записаны члены возрастающей арифметической прогрессии с отрицательными членами. Очевидно, что определитель матрицы по-прежнему выдаёт значение нуль.

а) б)    в)

Рис. 2. Изменения в матрице, содержащей члены арифметической прогрессии:

а) изменения во второй строке – убывающая прогрессия с положительными членами;

б) изменения во второй строке – убывающая прогрессия с отрицательными членами;

в) изменения во втором столбце – возрастающая прогрессия с отрицательными членами

Следующим шагом производим изменения: третью строку заменяем одним и тем же числом (рис. 3, а)); на рис.3, б) – двойное изменение: первая строка прежняя, вторая состоит из членов убывающей арифметической прогрессии с шагом (разностью) -1, третья строка содержит одно и то же число. На рис. 3, в) матрица построчно содержит члены возрастающей арифметической прогрессии в первой строке, во второй и третьей – члены убывающих арифметических прогрессий с различными разностями. Можем заметить, что и в этом случае определители матриц равны нулю. Несомненно, что рассмотрение поведения прогрессий соответствует обобщёнию укрупнённых дидактических единиц ([6]).

а) б) в)

Рис. 3. Изменения в матрице с членами арифметической прогрессии:

а) третья строка – содержит постоянное значение; б) изменения во второй строке – убывающая прогрессия с положительными членами и третья строка – содержит постоянное значение; в) изменения во второй строке – убывающая прогрессия, третья строка – убывающая прогрессия с другой разностью

Подтверждением того, что строки вырожденных матриц, содержащих коэффициенты системы линейных уравнений третьего порядка, могут представлять собой некоторую прогрессирующую последовательность является следующее вычисление (рис. 4).

Рис. 4. Зависимость вырожденности матрицы от содержимого матриц

Очевидно, что если третья строка (рис. 4 слева) содержит члены прогрессии (неважно какой – убывающей или возрастающей), то определитель будет равен нулю. Если же в этой строке нарушить прогрессию, то определитель уже не будет равным нулю.

В данной статье авторы не стали рассматривать свойства систем линейных уравнений четвёртого и более высоких порядков. Но, сразу отметим, что для указанных систем, содержащих в качестве коэффициентов члены прогрессирующих последовательностей, всё намного интереснее.

Нестандартный подход к исследованию систем линейных уравнений, несомненно, является компонентом проблемного обучения на занятиях по математике ([7]), способствует формированию профессиональных компетенций бакалавров в техническом вузе ([8]) как в учебно-исследовательской работе студентов, так и в научно-исследовательской. Если бы каждый студент принял участие в поисковой и проблемной работе (как, например, один из соавторов статьи – Черепов Карлен), то освоение учебного материала по математике стало бы для каждого из них мотивированным, ненавязчивым, интересным и прочным.

Список использованной литературы:

1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. Изд-во: Мир. – 1990. – с. 368.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Учебник для университетов. – Изд-во Наука. Глав.ред. физ.-мат. литературы. Москва. – 1968. – с. 431

3. Смольняков И.М., Часов К.В. Некоторые свойства прогрессирующих последовательностей // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 7 ч.1. – С. 106-107.

4. Смольняков И.М., Часов К.В. Исследование различных последовательностей // Материалы VI Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» URL: www.scienceforum.ru/2014/729/6698 (дата обращения: 10.01.2020).

5. Черепов К.Р., Часов К.В. ПОДГОТОВКА ИНТЕРАКТИВНОГО ОБУЧАЮЩЕГО ДОКУМЕНТА ПО ИЗУЧЕНИЮ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЙ // Прикладные вопросы точных наук / Материалы III Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов, преподавателей, посвящённой 60-летию со дня образования Армавирского механико-технологического института. 2019. С. 331-334.

6. Часов К.В. и др. Обобщённые укрупнённые дидактические единицы – компонент проблемного обучения на занятиях по математике // Часов К.В., Неверов А.В., Тульчий В.В. / НИИ Высшего Обр.- № 87-98 депон. от 27.04.98.

7. Неверов А.В. Элементы нестандартного анализа как эффективное дидактическое средство дальнейшего совершенствования развивающего обучения математике: дис.... канд. пед. наук: 13.00.02 -Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)/Дагестанский гос. пед. ун-т. Махачкала, 2000. 176 с.

8. Паврозин А.В. ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ НА ПРИМЕРЕ ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ // Электронный сетевой политематический журнал "Научные труды КубГТУ". 2014. № S4. С. 197-200.