АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ - Студенческий научный форум

XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

В нечеткой математике [1] изучаются объекты самых разных типов, например, нечеткие точки, нечеткие числа, нечеткие функции. Эти объекты, или элементы, на основании некоторых свойств, которые описываются функциями принадлежности, объединяются в нечеткие совокупности, или нечеткие множества. Каждая из существующих теорий занимается изучением некоторой совокупности, или основным множеством теорий.

В нечеткой арифметике основным элементом является нечеткое натуральное число, а основным множеством – нечеткое множество – нечетких натуральных чисел. Это множество может быть построено с помощью системы аксиом, которая является аналогичной системе аксиом Пеано в четкой арифметике с использованием аппарата нечеткой логики и теории нечетких множеств [1–7].

Нечеткое множество можно рассматривать как объединение его составляющих – одноточечных нечетких множеств (ОНМ), носители которых состоят из единой точки. Нечеткие множества, элементы которых – нечеткие числа, представлены в виде ОНМ, будем называть точечными нечеткими множествами (ТНМ) [4–6].

В работе [4], предлагается рассмотрение аксиоматического построения точечного нечеткого множества натуральных чисел, как основы теории точечных нечетких множеств. По нашему мнению, представляет интерес к рассмотрению аксиоматического построения теории нечетких натуральных чисел, которые представляют собой определенное объединение одноточечных нечетких натуральных чисел [4–6].

В данной работе мы предлагаем рассмотрение аксиоматического построения теории нечетких натуральных чисел как основы нечеткой арифметики.

Основные понятия теории нечетких множеств, элементов нечеткой логики, нечетких соотношений и нечетких отношений будем рассматривать как в [1–7]. Пусть заданы нечеткие множества . Введем понятие степени включения нечеткого множества в нечеткое множество , которое находится по формуле: , где величины понимаются как нечетко высказываемые переменные, а – операция конъюнкции, которая берется по всем . Аналогичным образом можно определить и степень включения нечеткого множества в множество . Если , то будем считать, что множество нечетко включается в множество и обозначается . Если , то считаем, что множество нечетко не включается в множество и обозначается . Легко увидеть, что рассмотренное понятие нечеткого включения нечетких множеств является обобщением понятия включения четких множеств. Подчеркнем, что степень включения одного нечеткого множества в другое может быть определена для любых двух нечетких множеств. При этом она может принимать любое значение в пределах от 0 до 1.

Определим степень равенства нечетких множеств выражением: . Если , то будем считать, что множества нечетко равные, и определяются . Если , то считаем, что множества нечетко не равные, и определяются выражением . В случае, когда , множества одновременно нечетко равные и нечетко не равные. Эти множества называют взаимно индифферентными и обозначают . Понятно, что рассмотренное понятие степени равности двух нечетких множеств является обобщением понятия равности четких множеств , поскольку в случае имеем , а при получим . Если и , то будем считать, что нечетко строго включается в множество .

Легко показать, что , то есть степень равенства нечетких множеств определяется как минимум из их степеней включения. Если , то есть множества нечетко равные, то и . Так что, множество нечетко включается в множество и наоборот. От сюда следует метод доказательства нечеткого равенства двух и более нечетких множеств, основанный на доказательстве взаимного нечеткого включения.

Нечетким отношением на произвольном непустом множествеXназывается и через обозначается пара множеств, в котором является нечетким множеством в .

Пусть дано произвольное нечеткое отношение .

Степенью рефлективности называется величина, которая определяется выражением .

Отношение называется нечетко рефлексивным, если . Отношение называется нечетко нерефлексивным, если . Если , то отношение называется рефлексивно индифферентным.

Степенью антирефлективности называется величина, которая определяется следующим выражением .

Отношение называется нечетко антирефлексивным, если и нечетко неантирефлексивным, если . В случае, когда , то отношение антирефлексивно индифферентно.

Степенью симметричности называется величина .

Отношение называется нечетко симметричным, если . Отношение называется нечетко не симметричным, если . Если , то отношение называется симметрично индифферентным.

Степенью антисимметричности называется величина .

Отношение называется нечетко антисимметричным, если и нечетко не антисимметричным, если . В случае, когда , то отношение называется антисимметрично индифферентным.

Степенью транзитивности отношения называется величина .

Отношение называется нечетко транзитивным, если и нечетко не транзитивным, если . В случае, когда , то отношение называется транзитивно индифферентным.

Отношение будем называть отношением нечеткого строгого порядка, если оно нечетко антирефлексивно, нечетко антисимметрично и нечетко транзитивно. Другими словами, отношение является нечетким строгим порядком, если величина , которая называется степенью строгого порядка отношения , больше или равна 0,5. Если то не является нечетким строгим порядком. В случае, когда , то отношение будем называть индифферентным относительно строгого порядка.

Пусть – нечеткий строгий порядок на множестве X. Если , тогда говорят, что элементы связаны отношением нечеткого строгого порядка и элемент xнечетко предшествует элементу y.

Теперь нечеткое множество – нечетких натуральных чисел, может быть построена с помощью следующей системы аксиом:

Нечеткий ноль – нечеткое натуральное число.

Всякому нечеткому натуральному числу xнечетко соответствует единое другое нечеткое натуральное число, которое называется нечетко следующим за xи обозначается x+.

Нечеткое число, нечетко следующее за нечетким натуральным, нечетко отличается от нуля.

Нечетко отличимым натуральным числам нечетко соответствуют нечетко отличимые следующие.

(Аксиома индукции). Пусть множество , которое содержит нечеткий ноль, нечетко включено в множество и является таким, что если содержит x, то содержит x+. Тогда нечетко совпадает с множеством .

Выводы. В данной работе рассмотрено применение для аксиоматического построения множества нечетких натуральных чисел нечеткой логики и теории нечетких множеств. Особое внимание приделяется рассмотрению элементов нечеткой логики, нечеткого включения, нечеткого равенства, нечеткого отношения и его основных свойств в пространстве нечетких множеств.

Список литературы.

Раскин Л.Г., Серая О.В. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.

Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие графы и гиперграфы. – М.: Научный мир, 2005. – 256 с.

Новак В., Перфильева И., Мочкорж И. / пер. с англ.: под ред. Аверкина А.Н. – М.: Физматлит, 2006. – 352 с.

Баришевський С.О. Основи теорії точкових нечітких множин // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет. – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип. 4. – Т. 52. – С. 141–144.

Баришевський С.О. Основи теорії точкових нечітких множин: алгебраїчні та топологічні аспекти // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет – Мелітополь: ТДАТУ, 2013. – Вип.4. – Т. 57. С.22 – 27.

Барышевский С.О. Развитие понятия однородного нечеткого натурального числа. // Сборник: Современные проблемы науки и образования. - 2018. – №1 – С. 68-69.

Баришевський С.О. Элементы теории нечетких множеств и развитие понятия нечетких систем. Международный журнал экспериментального образования. – 2015. - № 10 (часть 1) – С. 39-40.

Просмотров работы: 16