XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Во многих задачах финансово – экономической сферы могут быть полезны методы теории игр. В частности, эти методы применяются в условиях неопределенности и риска, когда поведение противоположной стороны (необязательно враждебное) просто неизвестно или известно нечетко [1]. Любая конечная матричная игра может быть решена графически (графоаналитически), либо ее решение может быть сведено к решению пары двойственных задач линейного программирования [2]. Однако в случае матричных игр, в которых элементы платежной матрицы представляют собой нечеткие числа, возникает проблема с использованием для решения таких игр симплекс – метода, связанная с делением на нечеткие числа, носитель которых содержит нуль. Эта операция над нечеткими числами не определена [3]. Графический метод применим только для игр, в которых хотя бы у одного из игроков имеется две стратегии. Однако он хорошо иллюстрирует содержательную сторону процесса поиска решения в игре и графически наглядно поясняет основные понятия теории матричных игр. В случае решения нечетких матричных игр графическим методом проблем проведения операций над нечеткими числами в основном не возникает. Неопределенность при решении нечетких матричных игр графическим методом может быть описана с использованием математического аппарата теории нечетких множеств и нечеткой геометрии [4–6].

В данной работе предлагается рассмотрение графического метода решения нечетких матричных игр в финансово – экономической сфере с использованием аппарата нечеткой математики и нечеткой геометрии. Основные понятия теории нечетких множеств, нечетких соответствий и отношений, понятия нечетких геометрических объектов и нечетких геометрических фигур на плоскости будем полагать такими же, как и в [4–8].

Графический метод вполне применим для нечетких матричных игр размерностью или , которые в свою очередь могут быть сведены к игре .

Рассмотрим случай, когда задана игра размерностью с платежной матрицей:

Пусть элементы матрицы A – гауссовы нечеткие числа с функциями принадлежности:

где – модальное значение (ядра) нечетких чисел, – коэффициенты концентрации.

Пусть нечеткие оптимальные стратегии игрока 1, – нечеткие оптимальные стратегии игрока 2. Тогда исключая тривиальный случай (наличие нечеткой чистой оптимальной стратегии хотя бы у одного из игроков), имеем:

(1)

Далее, для удобства, нечеткие точки, нечеткие прямые и нечеткие отрезки будем изображать графически их модальными значениями (ядрами), а их размытость (нечеткость) – крайними численными значениями коэффициентов концентрации.

Выберем прямоугольную систему координат и отложим на оси абсцисс единичный отрезок для представления нечетких смешанных стратегий игрока 1 (рис. 1). На концах этого отрезка поставим два перпендикуляра, на которых будем откладывать нечеткие выигрыши игрока, когда он использует нечеткие чистые стратегии и

Пусть игрок 2 выбрал нечеткую стратегию . Тогда при использовании игроком 1 нечеткой стратегии он получает нечеткий выигрыш (соответствующая нечеткая точка на левом перпендикуляре), а при использовании нечеткой чистой стратегии – нечеткий выигрыш (нечеткая точка на правом перпендикуляре). Соединив эти две нечеткие точки нечетким отрезком нечеткой прямой, мы получим график смешанной стратегии xпри условии, что игрок 2 использует нечеткую чистую стратегию (рис. 1). Точно такие же нечеткие прямые можно построить для

Рис. 1. График зависимости нечеткого выигрыша игрока 1 от смешанной стратегии

Нечеткая ломанная является нечеткой нижней границей выигрыша (рис. 1) получаемого игроком 1. Нечеткая точка Xв которой он максимален, определяет нечеткую цену игры и ее решение. Аналогично можно найти нечеткую оптимальную смешанную стратегию игрока 2 и нечеткую нижнюю цену игры. Согласно основной теореме матричных игр решение в нечетких смешанных стратегиях существует всегда и Здесь v – нечеткая цена игры.

Рассмотрим использование исследуемого метода в нечетких матричных играх на примере задач из финансово-экономической сферы.

Пример. Банк A заинтересован в покупке акций некоего акционерного общества B. Стремясь сделать покупку как можно выгодной, банк снабжает продавца информацией о реальной стоимости акций, которая может быть как нечетко правдивой , так и нечетко ложной . Продавец может как поверить информации , так и не поверить с некоторой степенью истинности соответственно. Пусть в качестве платежа используется нечеткий прирост стоимости по отношению к вложенным средствам, и нечеткая платежная матрица имеет вид:

, где – нечеткие гауссовы числа с следующими функциями принадлежности соответственно:

; ; .

Определить нечеткие оптимальные стратегии игроков Aи B, а также нечеткую цену игры графическим методом.

Решение. Нечеткая нижняя цена игры: ; нечеткая верхняя цена игры: ; ; нечеткая цена игры: . Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий.

Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегии игрока 2 (рис. 2.а.) и игрока 1 (рис. 2.б.).

Рис. 2. Геометрическая интерпретация задачи при стратегиях игрока 2 (а) и при стратегиях игрока 1 (б).

Построив проекции нечетких точек пересечения нечетких отрезков на соответствующие оси системы координат, находим нечеткие оптимальные стратегии и нечеткую цену игры с соответствующими функциями принадлежности:

; ;

; ; .

Выводы. В данной работе предлагается рассмотрение графического метода решения матричных игр , в которых элементы матрицы –гауссовы нечеткие числа. Рассмотрено использование исследуемого метода в играх на примере численного решения задач из финансово-экономической сферы.

Список литературы.

Абланская Л.В. Экономико – математическое моделирование: учебник / под. общ. ред. И.И. Дрогобыцкого. – 2-е изд. стереотип. – М.: Издательство “Экзамен”, 2006. – 798 с.

Василевич Л.Ф. Теория игр. Уч. Пособие – К.: КННМ, 2000. – 98 с.

Зайченко Ю.П. Исследование операций: нечеткая оптимизация. – К.: Вища школа, 1991. – 191 с.

Раскин Л.Г. Серая О.В. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.

Новак В. Мочкорж И. Математиеские принципы нечеткой логики. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 352 с.

Баришевский С.О. Никифорова Л.Є. Караєв О.Г. Аксіоматичні основи евклідової нечіткої планіметрії // Вісник Херсон: ХНТУ, 2014. – Вип. 3(50). – С. 559-561.

Барышевский С.О. Графоаналитический метод решения нечетких матричных игр // Сучасні проблеми моделювання: зб. Наук. Праць / МДПУ ім. Б. Хмельницького; гол. Ред. кол. А.В. Найдиш. – Мелітополь: Видавництво МДПУ ім. Б. Хмельницького, 2016. – Вип. 5. – С. 3-8.

Серая О.В. Каткова Т.И. задача теории игр с нечеткой платежной матрицей // Математичні машини і системи. – 2012. №2. – С. 29-36.

Код для цитирования: Скопировать