XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Введение

Понятие нечеткого множества – это способ математической формализации нечеткой информации для построения математических моделей. В основе этого понятия лежит представление о том, что элементы, которые составляют это множество и владеют общим свойством, могут владеть этим свойством в разной степени и, соответственно, принадлежит этому множеству с разной степенью. При таком подходе выражение типа: “какой-либо элемент принадлежит этому множеству” теряет смысл, поскольку необходимо указать “насколько сильно” или с какой степенью конкретный элемент удовлетворяет свойству данного множества. Понятно, кроме того, что и высказывание об принадлежности или не принадлежности объекта нечеткого множества так же является приблизительно верным или ложным. В этом случае необходимо использовать логику, значения истинности высказывания, в которой они могут быть любыми, в пределах от полной истинности до полной ложности. Такая логика получила название нечеткой или размытой. Так же известна как непрерываемая логика или логика с бесконечным множеством значений истинности [1;2].

В данной работе рассматриваются основные понятия нечеткой логики и теории нечетких множеств, а также приводятся типовые примеры и иллюстрации для закрепления знаний, полученных из изложенного в данной работе материала.

Элементы нечеткой логики.

Понятие нечеткого множества.

Пусть E – универсальное множество, x – элемент из множества E, а G – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E элементы которого имеют свойствоG, определяется как множество упорядоченных пар , где – характеристическая функция принадлежности, которая принимает значение 1, еслиxимеет свойствоG, и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементовxизEнет однозначного ответа “да” или “нет” касательно свойстваG. В связи с этим нечеткое подмножествоAуниверсального множестваEопределяется как множество упорядоченных пар , где – функция принадлежности, которая принимает значение в некотором полностью упорядоченном множествеM(например, .

Функция принадлежности указывает степень принадлежности элемента xподмножеству A. Множество Mназывают множеством принадлежности.

Высотой (супремумом) нечеткого множества Aназывается величина – это точная верхняя граница или максимальное значение принадлежности, которое есть во множестве.

Нормальной является нечеткое множество A, если ее высота равна 1, то есть верхняя граница ее функции принадлежности равна 1 ( .

Субнормальным называется нечеткое множество Aпри .

Пустым – нечеткое множество , если .

Унимодальным – нечеткое множество A, если только на одно из .

Ядром нечеткого множества Aназывают такое обычное множество , элементы которого удовлетворяют заданному условию: .

Носителем нечеткого множества A есть обычное подмножество B со свойством , то есть .

Нечеткое множество конечно, если ее носителем является конечное множество.

Пределами нечеткого множества Aесть такие элементы универсального множества E, для которых значения функции принадлежности варьируются от 0 до 1: .

Точками перехода множества Aназывают такие элементы , для которых .

Четкое множество α–уровня (альфа–срез) нечеткого множества Aуниверсального множества E– элементы, принадлежность которых выше или равна заданному порогу: , где α–порог: (порог, который равен 0,5, называют точкой перехода). Свойство множества α–уровня: если , то .

Нечеткая логика

Так же, как и в основе теории четких множеств лежит четкая логика, так и в случае нечетких множеств используется нечеткая логика. В случае двузначной четкой логики существуют полные системы, которые создаются операциями НЕ–И–ИЛИ, НЕ–И и НЕ–ИЛИ. С их помощью можно записать все другие операции [1; 3–5].

Рассмотрим расширение НЕ, И, ИЛИ относительно нечетких операций. Назовем эти расширения соответственно нечетким отрицанием, t-нормой и t-конормой (S-нормой).

Нечеткое отрицание является аналогом четкой операции НЕ и представляет собой бинарную операцию отрицания в нечетком содержании оценки [0,1], которая в ответе дает оценку [0,1].

Нечетким отрицанием называется функция , что удовлетворяет следующие условия:

– ограниченность;

для – правило удвоенного отрицания;

– инвертация (в содержании строгого неравенства) последовательности оценок, то есть изменение места хороших и плохих оценок.

Типичная операция нечеткого отрицания – это “вычитание от 1”: .

Из условий 1)–3) непосредственно выплывает следствие: .

Нечетким расширением И есть t-норма (треугольная норма).

Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная функция t: , которое удовлетворяет такие требования для всех :

– ограниченность;

– коммутативность;

– ассоциативность;

монотонность.

Типичной t-нормой является операция minили логическое произведение .

Нечетким расширением ИЛИ есть t-конорма (или S-норма).

Треугольной конормой (t-конормой) называется двуместная действительная функция S: , со свойствами:

– ограниченность;

– коммутативность;

– ассоциативность;

монотонность.

Типичными t-конормами являются:

– операция максимум;

– вероятная сумма;

– гармоническая сумма;

– сильная t-конорма.

На практике обычно используют логические операции и .

Рассмотрим теперь расширение условного оператора “ЕСЛИ… ТО” (или операция импликации) относительно нечетких операций.

Нечеткая импликация определяет причинно–следственное отношение между условиями и последствиями правил. Операции нечеткой импликации можно разделить на три основные классы:

S-импликация: ;

R-импликация: ;

Qα-импликация: .

Отдельно выделяют нечеткие импликации, которые определяются:

Согласно Рейхенбаху:

Согласно Виллмотом:

Согласно Мамдани:

Согласно Гейсом:

Согласно Клине–Дайенисом:

Согласно Гёделем:

Согласно Гогуэном:

Согласно Лукасевичем:

Для операции импликации I(x,y) могут быть использованы следующие свойства:

Если , то ;

Если ,то ;

– ложность влечет за собой все;

– правило идентичности;

– правило расширения;

тогда и только тогда, когда ;

– правило субнормальность;

Функция I(x,y) является непрерывной.

Нечеткие высказывания

Нечетким высказыванием называется предложение, относительно которого можно судить о степени его истинности или ложности в настоящее время.

Итак, степень ложности каждого нечеткого выражения принимает значение из интервала [0,1], при чем 0 и 1 являются граничными значениями степени истинности и совпадают с понятиями ложности и истинности для четких выражений.

Индифферентностью назовем нечеткое высказывание, которое имеет значение степени истинности, равное 0,5, поскольку оно истинно в той же мере, сколь и ложно.

Нечеткие высказывания, в отличии от четких высказываний, будем обозначать прописными латинскими буквами с тильдой. Поскольку в нечеткой логике степень истинности каждого высказывания рассматривается независимо от его содержания, то нечеткое высказывание и степень его истинности будем обозначать одной и той же буквой.

Нечеткие высказывания бывают простые и сложные. Сложные нечеткие высказывания создаются из простых с помощью нечетких логических операций отрицания (), конъюнкции (), дизъюнкции (), импликации (), эквивалентности () и других.

Отрицание нечеткого высказывания называется нечеткое высказывание, которое обозначается , степень истинности которого определяется выражением: .

Откуда выплывает, что степень ложности высказывания совпадает со степенью истинности высказываний .

Конъюнкцией нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание, которое обозначается , степень истинности которого определяется выражением: .

Значит, степень истинности нечеткого высказывания совпадает со степенью истинности наименее истинного высказывания.

Дизъюнкцией нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание, которое обозначается , степень истинности которого определяется выражением: .

Таким образом, степень истинности нечеткого высказывания совпадает со степенью истинности наиболее истинного высказывания.

Импликацией нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание, которое обозначается , степень истинности которого определяется выражением: .

Итак, степень истинности импликации не меньше, чем степень истинности ее посылания или степень истинности ее следствия. Кроме того, степень истинности импликации тем выше, чем меньше степень истинности посылания или чем больше степень истинности следствия.

Эквивалентностью нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание, которое обозначается , степень истинности которого определяется выражением: .

Откуда следует, степень истинности нечеткого высказывания совпадает со степенью истинности наименее истинной из импликаций .

Несложно убедится, что высказывания в определениях логических операций над нечеткими высказываниями в случаях, когда степень истинности высказываний и принимает только два значения 0 и 1, определяют соответствующие логические операции над четкими высказываниями.

Нечетко близкими называются два высказывания и , если степень истинности высказываний больше или равна 0,5. В случае равности 0,5, их называют нечетко взаимно индифферентными.

Кроме логических операций, для составления сложных нечетких высказываний могут быть использованы операции поднесения в степень, нахождения корня, умножения и сложения.

В сложном нечетком высказывании порядок выполнения логических операций определяется скобками, а при их отсутствии сначала выполняется отрицание, потом конъюнкция, дальше дизъюнкция, потом импликация и эквивалентность.

Операции над нечеткими множествами

Пусть задано в Х. Введем понятие степени включения нечеткого множества в нечеткое множество , которое находится по формуле: , где понимаются как нечеткие высказываемые переменные, а – операция конъюнкции, которая берется по всем [1;6].

Аналогичным образом можно определить и степени включения нечеткого множества в множества .

Если , то будем считать, что множество нечетко включается в множество , и обозначается . Если , то считаем, что множество нечетко не включается в множество , и обозначается .

Легко увидеть, что рассмотренное понятие нечеткого включения нечетких множеств есть обобщением понятия включения четких множеств.

Подчеркнем, что степень включения одного нечеткого множества в другое может быть определена для любых двух нечетких множеств. При этом она может принимать любое значение от 0 до 1.

Определим степень равенства нечетких множеств выражением:

Если , то будем считать, что множества нечетко равные, и обозначаются . Если , то считаем, что множества нечетко неравные, и обозначаются .

В случае, когда , множества одновременно нечетко равные и не равные. Эти множества называют взаимно индифферентными и обозначают .

Понятно, что рассмотренное понятие степени равности двух нечетких множеств является обобщенным понятием равности четких множеств , поскольку в случае мы получим , а при получим .

Если и , то будем считать, что нечетко строго включается в множество .

Легко показать, что , то есть степень равности нечетких множеств определяются как минимум со степенью их взаимного включения.

Если , то есть множества нечетко равные, то и . Так что, множество нечетко включается в множество и наоборот. Откуда следует метод доказательства нечеткого равенства двух и более нечетких множеств, основанный на доказательстве взаимного нечеткого включения.

Пусть – нечеткие множества в X, при чем .

Объединением множеств называется нечеткое множество, которое обозначается и определяется как , где . Где – дизъюнкция нечетких выражений , а – нечеткое высказывание, которое определяет степень принадлежности элемента множеству .

Другими словами, множество – это нечеткое множество, такое что и .

Пересечением множеств называется нечеткое множество, которое обозначается и определяется как , где . Где – дизъюнкция нечетких выражений , а – нечеткое высказывание, которое определяет степень принадлежности элемента множеству .

Другими словами, множество – это нечеткое множество, такое что и .

Дополнением множества называется и через обозначается нечеткое множество , где . Где – нечеткое высказывание, которое определяет степень истинности принадлежности элемента множеству и является отрицанием нечеткого высказывания .

Разностью нечетких множеств называется и через обозначается нечеткое множество , где и есть нечетким выражением, которое определяет степень истинности принадлежности элемента множеству .

Симметричной разностью нечетких множеств называется и через обозначается нечеткое множество , где и есть нечетким выражением, которое определяет степень истинности принадлежности элемента множеству .

Пусть – произвольные нечеткие множества в X. Имеют место следующие свойства над заданными нечеткими множествами

(инволюция);

(идемпотентность);

(коммутативность);

(ассоциативность);

(дистрибутивность);

(закон де Моргана;

Все свойства операций над нечеткими множествами справедливы для любых нечетких множеств в X. Откуда следует, что они справедливы и для произвольных нечетких множеств, которые есть подмножествами X. Следует отметить, что для нечетких множеств с фиксированными функциями принадлежности возможны нечеткие равенства, которые не имеют аналогов в теории четких множеств.

Выделим еще одно свойство нечетких множеств относительно операции объединения. Каждое непустое множество в Xможно представить в виде:

, (*)

Где – нечеткое множество, которое состоит из тех , значение функции принадлежности для которых больше или равно уровню α, а – при – ненормальное четкое множество в X, причем для всех : .

Таким образом, – это множество .

Пусть произведением нечетких множеств называется и через обозначается нечеткое множество в , которое определяется выражением .

Данное определение прямого произведения нечетких множеств выплывает из определения прямого произведения четких множеств и из выражения (*).

Представим по (*) нечеткие множества и в виде , и , где . Легко увидеть, что .

Примеры и иллюстрации

Пример 1.

Пусть , ; А – нечеткое множество, для которого Тогда А можно представить в виде: или или

или или

Тут знак “+” не является обозначением операции сложения, а имеет значение объединения.

Пример 2.

Пусть і отвечает понятию “возраст”, тогда нечеткое множество “молодой”, может быть определено таким способом:

Нечеткое множество “молодой” на универсальном множестве задается с помощью функции принадлежности на (возраст), названой относительно функцией смежности, при этом: где х – возраст Сидоренко.

Пример 3.

Пусть мы имеем нечеткие множества . Определим их свойства. В качестве скалярного произведения будем использовать число , или, если нужно, .

Характеристика множества А: высота: 1; нормальность: нормальная; пустое: не пустое; унимодальность: унимодальная; ядро: {3}; носитель {1,2,3,3,2}; границы {0,1|1;0,5|2;0,8|3,2}; точки перехода {0,5|2}; выпуклость: выпуклая; четкое множество –уровня : {2;3;3;2}.

Характеристика множества В: высота: 0,6; нормальность: субнормальность; пустое: не пустое; унимодальность: не унимодальная; ядро: ; носитель {1,2,3}; границы {0,6|1;0,1|2;0,1|3}; точки перехода ; выпуклость: выпуклая; четкое множество –уровня : {1}.

Пример 4.

Найдем степень истинности сложного нечеткого выражения , если , , .

Используя выражение для нечетких логических операций, получим:

Пример 5.

Пусть , , а .

Тогда:

Таким образом, , а .

Пример 6.

Пусть ,

Тогда значение: .

Поскольку , получаем .

Приклад 7.

Пусть и – нечеткие множества в множестве . Найдем , и на основе определений операций над нечеткими множествами. Тогда

Пример 8.

Пусть дано множество . Поскольку , то необходимо найти четкие множества . Запишем их . Несложно проверить, что .

Действительно .

Пример 9.

Пусть , , , .

Тогда декартово (прямое) произведение

Список литературы

Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие графы и гиперграфы. – М.: Научный мир, 2005. – 256 с.

Раскин Л.Г., Серая О.В. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.

Новак В., Перфильева И., Мочкорж И. / пер. с англ.: под ред. Аверкина А.Н. – М.: Физматлит, 2006. – 352 с.

Баришевський С.О. Основи теорії точкових нечітких множин // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет. – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип. 4. – Т. 52. – С. 141–144.

Баришевський С.О. Точкові нечіткі множини та їх відображення // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет. – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип. 4. – Т. 54. – С 3–8.

Баришевський С.О. Элементы теории нечетких множеств и развитие понятия нечетких систем. Международный журнал экспериментального образования. – 2015. - № 10 (часть 1) – С. 39-40.

Код для цитирования: Скопировать