XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Автор: Федорова Е.Д.

Учебное заведение: СурГПУ

Тема занятия: Принцип Дирихле

Цель занятия: сформировать у обучающихся умение решать задачи с использованием принципа Дирихле

   Образовательные:

- расширить знания о способах решения олимпиадных задач;

- формирование устойчивого интереса к математике и к внеклассным формам его углубленного изучения;

  Воспитательные:

-  создание условий для отношений сотрудничества между учащимися;

-  формирования чувства ответственности за порученную работу;

-  умения слушать и слышать.

  Развивающие:

- развитие творческих способностей учащихся (воображения, наблюдательности, памяти, мышления);

- развитие монологической речи;

- развитие самоанализа и рефлексии;

- развитие способности выявлять причинно-следственные связи.

  Оборудование: раздаточный материал, доска.

Тип занятия: получение новых знаний.

Методы обучения: частично – поисковый, использование принципа «от простого к сложному»

Структура занятия.

Организационный момент (1 мин)

Разгадывание кроссворда (сообщение темы и целей занятия) (5 мин)

Знакомство с биографией учёного (2 мин)

Интерактивная игра «Кролики в клетках» (8 мин)

Знакомство с формулировками принципа Дирихле

Запись принципа Дирихле и алгоритма применения его к решению задач (4 мин)

Решение задач с использованием принципа Дирихле (10 мин)

Физкультминутка для глаз «Танец снежинок» (1 мин)

Решение задач «на знакомство» с использованием принципа Дирихле (10 мин)

Подведение итогов, рефлексия.(2 мин)

Ход занятия.

Вступительное слово учителя:

Здравствуйте ребята, на нашем занятии нам предстоит изучить один из методов решения олимпиадных задач, а какой именно, вы узнаете после того, как разгадаете кроссворд.

Разгадывание кроссворда

Вопросы кроссворда:

Как называют числа, расположенные на координатной прямой справа от начала отсчёта?

Как называют числа, расположенные на координатной прямой слева от начала отсчёта?

Равенство, содержащее переменную.

Число, которое не является положительным и не является отрицательным.

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от данной точки этой плоскости. Как называется эта данная точка?

Древнегреческий учёный-математик.

Простейшая геометрическая фигура.

Равенство, верное при любых значениях переменной, для которых выражения, стоящие в правой и левой части равенства имеют смысл.

Раздел геометрии, который изучает свойства плоских фигур.

Геометрическая фигура, у которой все стороны равны и все углы прямые.

Древнегреческий учёный-математик.

Отрезок, соединяющий две точки окружности.

Геометрическая фигура, состоящая из точки прямой и всех её точек, лежащих по одну сторону от данной точки

Раздел геометрии, который изучает свойства пространственных фигур и плоских, расположенных в пространстве.

Знакомство с биографией Петера Дирихле.

Один из учеников должен был подготовить сообщение о Петере Дирихле

Биографические сведения

Дирихле Петер Густав Лежён (13.02.1805 – 05.05.1859) – немецкий математик, внёсший существенный вклад в математическую науку. Родился он в Дюрене. С 1822 г. по 1827 г. работал учителем в доме генерала Фуа, у которого и проживал эти годы. В свободное время Дирихле посещал лекции во французском колледже для изучения научных трудов других математиков. В Париже Лежён Дирихле знакомится с уже известными учёными. Нахождение в кругу таких людей пробудило в нём исследовательский интерес и послужило мотивом для его дальнейшей деятельности в математической сфере. В 1855 году он получает звание профессора высшей математики в университете Гёттингена. У Дирихле много крупных открытий в самых разных областях математики, а также в механике и математической физике. Он вывел множество формул и принципов решения задач. Один из называется - Принцип - это утверждение, сформулировал Дирихле в 1834 .

Интерактивная игра «Кролики в клетках»

Знакомство с формулировками принципа Дирихле

«При решении различных математических задач применяется специальный метод, получивший название «принцип Дирихле». Давайте попробуем сформулировать данный принцип, с помощью игры»

Пусть у нас имеется две клетки и три кролика. Необходимо всех кроликов рассадить в клетки. И как бы вы ни старались, нельзя посадить трёх кроликов в две клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не больше одного кролика (использование кроликов, вырезанных из картона, и клеток – файлов, прикреплённых к доске).

Пусть у нас имеется три клетки и четыре кролика. Та же задача. Вывод: нельзя посадить четырёх кроликов в три клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не больше одного кролика.

Пусть у нас имеется четыре клетки и пять кроликов. Та же задача. Вывод: нельзя посадить пять кроликов в четыре клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не больше одного кролика.

Вывод: если в n клетках сидит m кроликов, причем m>n , то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два кролика.

Это и есть первая формулировка принципа Дирихле

Продолжим интерактивную игру. Пусть у нас имеется три клетки и семь кроликов. Необходимо всех кроликов рассадить в клетки. И как бы вы ни старались, нельзя посадить семь кроликов в три клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не более двух кроликов.

Вывод: если кроликов n > mk, то хотя бы в одной клетке сидит более k кроликов (7>3•2)

Эта обобщённая формулировка принципа Дирихле

Запись принципа Дирихле и алгоритма применения его к решению задач

Определить, что в данной задаче удобно принять за «клетки», а что за «зайцев».

При необходимости преобразовать условия задачи в удобный для понимания вид и получить «клетки» и «зайцев».

Выбрать для решения задачи удобную формулировку принципа Дирихле.

Привести условия задачи к выбранной формулировке принципа Дирихле.

Получаем ответ или результат доказательства.

6.Физкультминутка для глаз

7.Решение задач с использованием принципа Дирихле

А теперь давайте разделимся на группы и порешаем задачи.

Делю учащихся на 4 группы. Каждой группе раздаётся карточка с заданиями.

Вам нужно решить предложенные задачи и потом представить своё решение другим группам.

Задача 1. Доказать, что из числа любых 13 учащихся найдутся по меньшей

мере 2 ученика, чьи месяцы рождения совпадут.

Задача 2. В школе 450 учеников. Докажите, что, хотя бы двое из них родились в один день года.

Доказательство. Принимаем за «зайцев» - учеников, а за «клетки» - дни в году. Так как в году всего 366 дней, а учеников 450, значит найдётся хотя бы один день в году, в который родились двое учеников. 450>366.

Задача 3. Имеется 25 конфет 3 сортов. Верно ли, что не менее 9 из них будут какого-то одного сорта?

Решение

Пусть «клетками» у нас будут сорта конфет, а «кроликами» - сами конфеты. По принципу Дирихле найдется «клетка», в которой не менее 25 / 3 «кроликов». Так как 8 < 25 / 3 < 9, то найдется 9 конфет одного сорта.

Утверждение можно доказать, проводя сразу рассуждения от противного. Пусть конфет каждого сорта не более 9, то есть не превышает восьми. Тогда всего конфет не больше 3 × 8 = 24, а по условию их 25. Противоречие.

Задача 4. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

Решение

Всего надо вынуть три шара, тогда у нас шары — это "кролики", а цвета — это "клетки". А так как клеток меньше, чем кроликов, то по принципу Дирихле найдется клетка, в которой сидят хотя бы два кролика. То есть два шара одного цвета. Легко заметить, что, вытащив два шара, мы можем получить шары разных цветов.

Ответ: 3 шара.

Задача 4. Придумайте свою задачу, которая будет решаться с помощью принципа Дирихле.

8.Подведение итогов, рефлексия.

Таким образом, применяя данный метод, надо:

Определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «кроликов»;

Получить «клетки». Чаще всего «клеток» меньше, чем «кроликов» на одну (или более);

Выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.

Рефлексия:

Какие задачи, решаемые на сегодняшнем занятии, показались вам самыми трудными?

Какие задачи, решаемые на сегодняшнем занятии, показались вам самыми лёгкими?

Дирихле Петер Густав Лежён (13.02.1805 – 05.05.1859) – немецкий математик, внёсший существенный вклад в математическую науку. Родился он в Дюрене. С 1822 г. по 1827 г. работал учителем в доме генерала Фуа, у которого и проживал эти годы. В свободное время Дирихле посещал лекции во французском колледже для изучения научных трудов других математиков. В Париже Лежён Дирихле знакомится с уже известными учёными. Нахождение в кругу таких людей пробудило в нём исследовательский интерес и послужило мотивом для его дальнейшей деятельности в математической сфере. В 1855 году он получает звание профессора высшей математики в университете Гёттингена. У Дирихле много крупных открытий в самых разных областях математики, а также в механике и математической физике. Он вывел множество формул и принципов решения задач. Один из называется - Принцип - это утверждение, сформулировал Дирихле в 1834 .

Алгоритм.

1.Определить, что в данной задаче удобно принять за «клетки», а что за «зайцев».

2.При необходимости преобразовать условия задачи в удобный для понимания вид и получить «клетки» и «зайцев».

3.Выбрать для решения задачи удобную формулировку принципа Дирихле.

4.Привести условия задачи к выбранной формулировке принципа Дирихле.

5.Получаем ответ или результат доказательства.

Формулировки:

Если в n клетках сидит m кроликов, причем m>n , то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два кролика.

Если кроликов n > mk, то хотя бы в одной клетке сидит более k кроликов.

Задача 1. Доказать, что из числа любых 13 учащихся найдутся по меньшей

мере 2 ученика, чьи месяцы рождения совпадут.

Задача 2. В школе 450 учеников. Докажите, что, хотя бы двое из них родились в один день года.

Задача 3. Имеется 25 конфет 3 сортов. Верно ли, что не менее 9 из них будут какого-то одного сорта?

Задача 4. Придумайте свою задачу, которая будет решаться с помощью принципа Дирихле.

Алгоритм.

1.Определить, что в данной задаче удобно принять за «клетки», а что за «зайцев».

2.При необходимости преобразовать условия задачи в удобный для понимания вид и получить «клетки» и «зайцев».

3.Выбрать для решения задачи удобную формулировку принципа Дирихле.

4.Привести условия задачи к выбранной формулировке принципа Дирихле.

5.Получаем ответ или результат доказательства.

Формулировки:

Если в n клетках сидит m кроликов, причем m>n , то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два кролика.

Если кроликов n > mk, то хотя бы в одной клетке сидит более k кроликов.

Задача 1. Доказать, что из числа любых 13 учащихся найдутся по меньшей

мере 2 ученика, чьи месяцы рождения совпадут.

Задача 2. В школе 450 учеников. Докажите, что, хотя бы двое из них родились в один день года.

Задача 3. Имеется 25 конфет 3 сортов. Верно ли, что не менее 9 из них будут какого-то одного сорта?

Задача 4. Придумайте свою задачу, которая будет решаться с помощью принципа Дирихле.

Алгоритм.

1.Определить, что в данной задаче удобно принять за «клетки», а что за «зайцев».

2.При необходимости преобразовать условия задачи в удобный для понимания вид и получить «клетки» и «зайцев».

3.Выбрать для решения задачи удобную формулировку принципа Дирихле.

4.Привести условия задачи к выбранной формулировке принципа Дирихле.

5.Получаем ответ или результат доказательства.

Формулировки:

Если в n клетках сидит m кроликов, причем m>n , то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два кролика.

Если кроликов n > mk, то хотя бы в одной клетке сидит более k кроликов.

Задача 1. Доказать, что из числа любых 13 учащихся найдутся по меньшей

мере 2 ученика, чьи месяцы рождения совпадут.

Задача 2. В школе 450 учеников. Докажите, что, хотя бы двое из них родились в один день года.

Задача 3. Имеется 25 конфет 3 сортов. Верно ли, что не менее 9 из них будут какого-то одного сорта?

Задача 4. Придумайте свою задачу, которая будет решаться с помощью принципа Дирихле.

Алгоритм.

1.Определить, что в данной задаче удобно принять за «клетки», а что за «зайцев».

2.При необходимости преобразовать условия задачи в удобный для понимания вид и получить «клетки» и «зайцев».

3.Выбрать для решения задачи удобную формулировку принципа Дирихле.

4.Привести условия задачи к выбранной формулировке принципа Дирихле.

5.Получаем ответ или результат доказательства.

Формулировки:

Если в n клетках сидит m кроликов, причем m>n , то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два кролика.

Если кроликов n > mk, то хотя бы в одной клетке сидит более k кроликов.

Задача 1. Доказать, что из числа любых 13 учащихся найдутся по меньшей

мере 2 ученика, чьи месяцы рождения совпадут.

Задача 2. В школе 450 учеников. Докажите, что, хотя бы двое из них родились в один день года.

Задача 3. Имеется 25 конфет 3 сортов. Верно ли, что не менее 9 из них будут какого-то одного сорта?

Задача 4. Придумайте свою задачу, которая будет решаться с помощью принципа Дирихле.

Код для цитирования: Скопировать