XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

В данной работе анализируется возможность изучения свойств функции вещественной переменной, заданной в виде сложного математического оператора. Пусть искомая функция записана таким образом, что ее значения могут быть рассчитаны только численно. Например, пусть задана в виде обратного преобразования Фурье

Если подынтегральный множитель является достаточно сложным для интегрирования (например, он является комбинацией нескольких специальных функций), то интеграл (1) не удается вычислить в аналитическом виде. При этом часто становится принципиально важно выяснить свойства . В частности, во многих случаях возникает вопрос о наличии составе слагаемого, которое является пренебрежимо малым в области малых значений аргумента, но определяет вид этой функции при больших Кроме того, принципиально важным является исследование правой части (1) на наличие малого гармонического слагаемого, что может говорить о резонансных свойствах исследуемой функции, а также изучение вопроса о возможности экспоненциального возрастания или, наоборот, затухания (1) при .

Для решения такой задачи выполним аналитическое продолжение на плоскость комплексной переменной , после чего рассмотрим мнимую часть натурального логарифма [1]:

На рис. 1 показан вид зависимости , отвечающей функции.

Отметим, что принципиально важной особенностью построения всех приводимых далее рисунков является конечность числа точек, используемых программой-графопостроителем. Благодаря чему стремится к нулю вероятность того, что одна из таких точек в точности совпадет с точкой, где . Данное обстоятельство позволяет исследовать свойства несмотря на то, что в некоторых точках рассматриваемой декартовой области значения функции .

На рис. 1а и 1б изображен общий вид (в боковой и верхней проекциях) двумерного графика для ; на рис. 1в приведен более удобный для анализа вид сверху для линий уровня для всего рис. 1а. На рис. 1г и 1д приведен вид сверху для линий уровня центральной части рис. 1а. Как следует из свойств натурального логарифма от комплексной функции, при обходе вокруг точки, в которой значение меняется на . Из анализа рис. 1г и 1д следует, что в области относительно малых значений , где второе слагаемое в правой части (5) (при замене на ) по модулю является по пренебрежимо меньшим первого, имеет место только 5 корней уравнения . Каждому такому корню отвечает разрез на плоскости комплексной переменной, который (с учетом однолистности изображенных графиков) приводит к появлению линии максимума, на которой . Любая подобная линия (своего рода «горный хребет» на рис. 1) начинается в той точке, где , и далее уходит в бесконечность. Поскольку при указанное второе слагаемое по модулю становится величиной порядка (а затем и много большим) первого, то в этой области имеют место остальные 5 корней данного уравнения , см. рис. 1б и 1в. Отвечающие им дополнительные разрезы (см. пять точек ветвления «горных хребтов» на рис. 1б и 1в) в области больших значений ) также уходят в бесконечность.

Рис. 1а Рис. 1б

Рис. 1в Рис. 1г

Рис. 1д

По аналогии может быть исследована функция

На рис. 2а и 2б приведены вид в боковой проекции и вид сверху для зависимости (2), отвечающей (4) при замене на . Как видно из этих рисунков, в области относительно малых значений зависимость практически та же, что и на рис. 1г и 1д. (При этом имеют место только пять разрезов, связанных с неоднозначностью мнимой части логарифма от при обходе вокруг точки нуля.) Следовательно, в этой области влиянием второго слагаемого в (4) можем пренебречь. В то же время в области возникают множественные «пики», соответствующие новым точкам, в которых , см. рис. 2б. Такого рода структура функции является маркером наличия экспоненциального (или гармонического) слагаемого для функции .

Следовательно, наличие малого экспоненциального слагаемого при переходе в комплексную область приводит к существенно иному виду функции , чем это имеет место при прибавлении малого степенного слагаемого. Этот факт может быть полезен при анализе поведения на вещественной оси функции, заданной с помощью сложно вычисляемого оператора.

Рис. 2а Рис. 2б

Таким образом, приходим к выводу, что предлагаемая методика позволяет эффективно анализировать свойства функций, заданных в форме трудно вычисляемых операторов.

Список литературы

[1] М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Книга по Требованию, 2013. – 734 с.