XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Исследование гармонических колебаний груза на пружине обычно проводятся в предположении, что на груз действует только возвращающая сила пропорциональная смещению груза из положения равновесия. Решение такой задачи указывает на то, что малые колебания в такой системе гармонические и их частота не зависит от амплитуды колебаний.

Представляет интерес выяснить физические свойства вертикальных колебаний груза на пружине, помещённой в однородное поле силы тяжести. На рис. 1 представлена система координат, в которой будут исследован этот процесс в системе без трения.

Рис. 1. Система координат

Второй закон Ньютона для периодического движения груза под действием двух сил возвращающей и силы тяжести запишем в виде

. (1)

Проецируя уравнение (1) на ось x, получим

, (2)

где m – масса груза, a – его ускорение, k – жёсткость пружины, g – ускорение свободного падения. Из (2) следует дифференциальное уравнение второго порядка

(3)

где – квадрат масштаба частоты исследуемой колебательной системы.

Введём новые переменные: безразмерное время и безразмерную координату , где

– временной масштаб колебаний (4)

– пространственный масштаб колебаний. (5)

Приходим к безразмерному уравнению

. (6)

Уравнение (6) имеет вид , допускает понижение порядка и приводит к фундаментальному закону сохранения полной механической энергии системы

, (7)

где – приведённая полная энергия колебаний, – масштаб энергии системы, эффективная потенциальная энергия системы представлена качественно на рис. 2.

Рис. 2. Эффективная потенциальная энергия системы

Потенциальная энергия колебаний в системе представляет собой квадратичную параболу, минимум которой приходится на точку . Из вида потенциальной энергии видно, что вертикальные колебания груза на пружине в однородном поле силы тяжести разделены на два класса: колебания с отрицательной полной энергией (энергия изменяется в диапазоне ) и колебания с положительной полной энергией. Значение соответствует состояниям покоящегося груза.

Интегрируя (7), получим зависимость в виде (выбрано решение для начального условия )

. (8)

Из (8) легко получить зависимости кинетической энергии груза от времени

(9)

и потенциальной энергии груза от времени

. (10)

Выводы

1.Вертикальные гармонические колебания груза на пружине в однородном поле силы тяжести совершаются на частоте и совпадают с масштабом частоты.

2.Период вертикальных колебаний не зависит от амплитуды колебаний. Это отличает их от колебаний математического маятника.

3.Амплитуда вертикальных колебаний нелинейно зависит от интеграла полной энергии и возрастает с её увеличением.

4.Проведённые эксперименты по измерению периода малых вертикальных колебаний груза в однородном поле силы тяжести указывают на удовлетворительное совпадение с теорией

Код для цитирования: Скопировать