XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Уравнения составляют значительную часть школьного курса математики, так как они широко используются в различных разделах математики, а также в решении различных и важных прикладных задачах. Уравнения имеют важное теоретическое значение, а также служат для достижения практических целей в разных областях науки. Решение уравнений является одним из трудных вопросов, потому что для правильного решения уравнений необходимо знать:

- большое количество формул;

- какие способы решения уравнений в каких случаях целесообразно применить;

а также уметь:

- проводить тождественные преобразования входящих в него выражений;

- безошибочно вычислять.

Первая работа по этой теме получившая известность стала работа известного багдадского ученого в IX в. Мухаммеда Бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата - «Китаб аль-джебр Валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») - со временем превратилось в известное слово «алгебра». Сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

А также большой прорыв в алгебра связан с французским ученым XVIв. Франсуа Виетом, который придумал буквенные обозначения для коэффициентов уравнений и неизвестных величин. Наш соотечественник Виет-Рене Декарт ввел традицию обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита . В работах А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре «Фигуры равновесия вращающихся жидкостей» впервые появились нелинейные уравнения и методы их решения, возникло понятие бифуркация. К концу 1920-х годов для дальнейшего развития данной темы требовались новые идеи и подходы.

Авторы относят этот период к следующему этапу научной эволюции, когда для описания поведения нелинейных систем стали привлекаться топологические и функционально-аналитические методы и начала строиться последовательная дедуктивная теория, основанная на строгих определениях и общих конструкциях. В данном контексте анализируется вклад в развитие теории нелинейных интегральных уравнений европейских математиков Л. Лихтенштейна и А. Гаммерштейна. Большое внимание, в свою очередь, уделяется работам отечественных математиков П.С. Урысона и А.И. Некрасова с учётом прикладного характера их исследований. Оценивается влияние развития теории нелинейных уравнений на создание и становление функционального анализа.

Данная тема имеет прикладной характер, т. к. многие задачи по физике, экономике и химии решаются с помощью систем нелинейных уравнений.

Для рассмотрения данной темы нам необходимо знать некоторые определения.

Уравнение – это равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.

Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединённых фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или установить, что решений нет.

Рассмотрим некоторые виды нелинейных систем уравнения.

а) Однородные системы

Многочлен называют однородным многочленом степени n, если:

Например, многочлен является однородным многочленом третьей степени, т.к. наибольшей из степеней входящих в него одночленов является три.

Система двух уравнений с двумя неизвестными вида:

является однородной, так как левые части уравнений (1) и (2) представляют собой однородные многочлены второй степени.

Рассмотрим сначала пример однородной системы, в которой одно из чисел d1, d2 равно нулю.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Если положить , то из уравнения (3) находим Но пара чисел не удовлетворяет уравнению (4). Поэтому, разделив обе части уравнения (3) на , получим уравнение

которое вместе с уравнением (4) образует систему, равносильную исходной.

Из уравнения (5) находим, что или , т.е. или Поэтому исходная система равносильна совокупности следующих систем:

Из первой системы получаем уравнение , не имеющее действительных корней.

Решив вторую систему, находим два решения исходной системы.

Ответ:

б) Симметрические системы

Будем рассматривать системы вида:

где – многочлены, которые не изменяются при замене , а Такие системы называются симметрическими.

Простейшей системой этого типа является система

(6)

Используя теорему Виета, можно доказать, что система (6) и квадратное уравнение

(7)

связаны следующим образом: если — корни квадратного уравнения (7), то система (6) имеет решения и не имеет других решений; обратно, если - решение системы (6), то -корни уравнения (7).

Например, система

имеет два решения , так как уравнение имеет два корня

Многочлены в левых частях уравнений системы (6) являются простейшими симметрическими многочленами, а любой симметрический многочлен от можно представить в виде многочлена от

При решении симметрических систем часто приходится выражать через многочлены вида

Суммы выражаются через следующим образом:

(8)

(9)

Формулы (3)–(6) можно легко получить самостоятельно. Докажемформулу

Позволяющую последовательно выразить через суммы и т.д. Для этого заметим, что

Откуда и следует равенство (12).

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Это - симметрическая система. Полагая и используя формулы (3), (5), запишем ее в виде

Исключая из этой системы , получаем

или откуда Следовательно, исходная система равносильна совокупности двух систем

Ответ: (1;3), (3;1), (-1; -3), (-3; -1).

Рассмотрим важнейшие методы решения систем нелинейных уравнений.

а) Метод подстановки (метод исключения переменных)

Теорема 1. Если из одного уравнения данной системы (1) выразить одно неизвестное через остальные, а затем подставить это выражение во все другие уравнения системы, то полученная система будет равносильна данной.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки

1) Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы (более простого).

2) Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы.

3) Решить полученное уравнение и найти одну из переменных.

4) Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, полученное на первом шаге, и найти вторую переменную.

5) Записать ответ в виде пар значений, например , которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шагах.

Пример. Решить систему уравнений

Решение

Выразим из первого уравнения и подставим во второе уравнение, получим следующую эквивалентную систему уравнений:

Из второго уравнения находим: . Подставляя эти значения в первое уравнение, найдем значения

Ответ:

б) Метод замены переменных (введение новых переменных)

Суть метода состоит в введении новых переменных, относительно которых данная система легко решается, после чего возвращаются к старым переменным.

При решении систем двух уравнений с двумя переменными метод введения новых переменных можно применять двумя способами:

1) Вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы;

2) Вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных

1) Ввести одну или две новые переменные.

2) Записать новое уравнение или систему уравнений.

3) Решить новое уравнение или систему уравнений и найти значения введенных переменных.

4) Сделать обратную замену и найти значения переменных из условия.

5) Записать ответ.

Пример. Решить систему уравнений:

(13)

Решение: перепишем второе уравнение в виде:

.

Если теперь обозначить то систему (13) можно переписать в виде:

Последняя система легко решается.

Из первого уравнения Подставив это выражение во второе уравнение, получаем:

Откуда находим Так как то получаем

Итак, решениями системы (14) являются:

Вспоминая теперь наши обозначения приходим к двум системам относительно

Решим первую систему. Из второго уравнения получим Подставляя это значение в первое уравнение, находим Следовательно, . Итак, одно решение мы нашли: Решая аналогично вторую систему, найдем еще одно решение

Ответ:

в) Метод алгебраического сложения уравнений

(15)

Теорема 2. Если к одному из уравнений системы (15), умноженному на множитель имеющий смысл и не обращающийся в нуль при всех допустимых системах значений неизвестных, прибавить некоторые другие ее уравнения, умноженные на любые множители определенные при всех допустимых системах значений неизвестных, а остальные уравнения оставить без изменения, то получим систему равносильную данной.

Следствие. Если к одному из уравнений системы (15) прибавить другое уравнение той же системы, умноженное на некоторое число , а другие уравнения системы оставить без изменения, то получим систему, равносильную данной.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом сложения

1) Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.

2) Сложить или вычесть уравнения.

3) Решить полученное уравнение с одной переменной.

4) Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

5) Записать ответ в виде пар значений, например, , которые были найдены.

Пример. Решить систему уравнений

Решение:

Раскроем скобки

Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим полученные уравнения:

⟺

Из первого уравнения находим:

.

Подставляя значения , а затем во второе уравнение, находим значения :

Ответ:

Данная тема разносторонняя, и рассматривается в разных областях науки. Эта тема, в частности, используется для решения прикладных задач. Есть много способов решения систем нелинейных уравнений, чаще всего используют известные способы решения.

Список используемой литературы

Высоцкий В.С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ: книга / В.С. Высоцкий. – М.: Научный мир, 2011.- 316 с.

Рыбников, К.А. История математики: учебник / К.А Рыбкин. – М.: Издательство Московский Государственный Университет, 1994. – 496 с.

Тишин В.И. Математика для учителей и учащихся: учебник / В.И.Тишин. – П.:Комаричи, 2002. – 89 с.

Код для цитирования: Скопировать