XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Вся иcтория геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Еще в древние времена математики считали «истинно геометрическими» лишь те построения, которые производятся лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. Такие задачи на построение, в решении которых используются циркуль и линейка и сегодня считаются весьма интересными, и вот уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии.

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Актуальность. Геометрические задачи на построение являются настолько существенным фактором математического образования, что на преподавание этого раздела в средней школе должно быть обращено серьезное внимание.

Задачи на построение развивают изобретательность, инициативу, конструктивные способности.

Изучение методов геометрических построений должно усилить творческие возможности учащихся, увеличить выбор приемов решения, правильно организовать процесс решения задачи.

Объект исследования – геометрические задачи на построение.

Предмет исследования – методы решения задач на построение.

Цель исследования – систематизация теоретического материала и его применение к решению задач.

Задачи исследования:

Выявить сущность задач на построение.

Проанализировать методы решения задач на построение.

Рассмотреть решение задач с использованием разных методов.

Вначале исследовательской работы определим понятия, которые лежат в основе задач на построение.

Одно из основных понятий геометрии – фигура. Фигура – термин, применяемый к разнообразным множествам точек; обычно фигурой называют такие множества, которые можно представить состоящими из конечного числа точек, линий и поверхности, в частности сами точки, линии и поверхности [3].

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперед заданным набором инструментов некоторую фигуру, если даны некоторые соотношения между элементами этой фигуры, или дана другая фигура и указаны определенные соотношения между элементами искомой фигуры и данной.

Решением задачи на построение является любая фигура, удовлетворяющая условию задачи. Решить задачу на построение – значит найти все ее решения.

Определение 1. Задачей на построение называется предложение, указывающее по каким данным, какими инструментами, какую геометрическую фигуру требуется построить так, чтобы эта фигура удовлетворяла определенным условиям [2].

Пример. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Определение 2. Построения геометрические – решение геометрических задач на построение с помощью различных инструментов.[2]

Построения геометрические называются также конструктивными задачами или конструктивной геометрией. Традиционно при решении задач на построение используют циркуль и линейку. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура уже считается построенной.

Задачи на построение традиционно делятся на стандартные и нестандартные. В нестандартных используются следующие инструменты:

· только циркуль;

· только линейка;

· двусторонняя линейка заданной ширины с параллельными краями;

· линейка и «заржавевший» циркуль;

· угольник с прямым углом;

· другие инструменты (например, шаблон равностороннего треугольника).

Решение задач на построение содержит обычно четыре этапа: анализ – построение – доказательство – исследование.

1. Анализ (поиск плана решения) состоит в установлении соотношений между искомыми и заданными элементами фигуры, или между искомыми и заданными фигурами с целью нахождения плана решения. Этап анализа – подготовительный и наиболее важный этап решения задачи на построение, ибо именно он дает ключ к решению.

2. Построение состоит в реализации найденных на этапе анализа шагов последовательности основных и элементарных построений. Построение сопровождается графическим оформлением каждого шага с помощью указанного набора инструментов и последовательной записью тех построений, которые уже выполнены.

3. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура (фигуры) действительно удовлетворяют всем поставленным в условиях задачи требованиям. При доказательстве правильности выполнения построения, делаются ссылки из аксиомы, теоремы, следствия из них, свойства геометрических фигур, определения геометрических понятий. Цель, которую мы должны достичь в ходе доказательства, стоит в установлении эквивалентности этих новых условий исходным.

4. Исследование состоит в выяснении того, в каких случаях решение задачи возможно какое число решений задача может иметь в зависимости от заданных условий.

Основными методами решения геометрических задач на построение являются три метода:

1. метод геометрических мест точек (ГМТ);

При решении задач методом геометрических мест точек сводят задачу к задаче на нахождение точки или нескольких точек, каждая из которых обладает свойством тем ГМТ, пересечением которых она является.

2. метод геометрических преобразований;

Группа методов геометрических преобразований включает в себя следующие методы: метод параллельного переноса; метод осевой симметрии; метод центральной симметрии; метод вращения; метод подобия; метод гомотетии; метод спрямления; метод обратности; метод инверсии.

3. алгебраический метод.

Решение задач алгебраическим методом геометрических задач на построение состоит в следующем:

1. Неизвестные величины, фигурирующие в условии задачи, обозначаются буквами x, y, z… .

2. Составляют уравнение связывающее эти неизвестные с данными в задаче величинами a, b, c,… .

3. Решают составленные уравнения.

4. Исследуют полученные ответы.

5. Выполняют требуемое построение

Заключение

В исследовательской работе мы познакомились с методами геометрических построений. Данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, инженерно-технологического профиля, а также при подготовке к олимпиадам. Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Список использованной литературы

1. Александров, И. И. Сборник геометрических задач на построение, 1954.

2. Далингер, В. А. Планиметрические задачи на построение,1999.

3. Прохоров, Ю. В. Большой энциклопедический словарь,1998.

Код для цитирования: Скопировать