XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Математика существует тысячи лет и за этот период она перешла от простейших представлений о числах к образованию множеств новых понятий и методов вычислений. На сегодняшний день она приобрела статус мощного средства изучения природных процессов. За весь период своего существования наука обрела большое количество идей и теорий, значительно расширились возможности, а также спектр альтернативных вариантов решения одной и той же задачи. Одним из понятий, модернизирующих математику, является такой термин как «множество».

Множество – это математический объект, который является совокупностью каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общими для всех их характеристическим свойством. [4]

История возникновения множества

Первым о теории множеств заговорил Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия. С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых).

Свойства множеств

1) Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и

обозначается символом Ø.

2) Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символично это обозначается как А  В.

3) Если А  В и В  А, то эти множества равны и обозначаются как А = В.

4) Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств, и обозначаются как А В = х : х  А или х  В.

5) Пересечением (или произведением ) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В, и обозначаются как А  В = х : х  А и х  В.

6) Разностью множеств называются элементы множеств, которые не принадлежат множеству А, но принадлежат множеству В и обозначаются как А\В, А\В = {х | х  А и х  В}.

Рассмотрим задачу по элементам теории множеств:

1 Задание. В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи?

Сколько учащихся решили только две задачи? Сколько учащихся решили только одну задачу?

Решение. Запишем коротко условие и покажем решение:

m (Е) = 40

m (А) = 20

m (В) = 18

m (С) = 18

m (А∩В) = 7

m (А∩С) = 8

m (В∩С) = 9

m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С

К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:

m (К5) = m (А∩В∩С)= m (АВС) - m (А) - m (В) - m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)

m (К5) = 37-20-18-18+7+8+9=5

m (К2) = m (А∩В) - m (К5) = 7-5=2

m (К4) = m (А∩С) - m (К5) = 8-5=3

m (К6) = m (В∩С) - m (К5) = 9-5=4

m (К1) = m (А) - m (К2) - m (К4) - m (К5) = 20-2-3-5=10

m (К3) = m (В) - m (К2) - m (К6) - m (К5) = 18-2-4-5=7

m (К7) = m (С) - m (К4) - m (К6) - m (К5) = 18-3-4-5 =6

m (К2) + m (К4) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;

m (К1) + m (К3) + m (К7) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.

Ответ: 5 учеников решили три задачи; 9 учеников решили только по две задачи; 23 ученика решили только по одной задаче.

Использованная литература

1. Информио [ электронный ресурс ] URL: www.Informio.ru

2. Студопедия [ электронный ресурс ] URL: www.studopedia.su

3. Вся элементарная математика [ электронный ресурс ] URL: www.bymath.net

4. Википедия [ электронный ресурс ] URL: www.Wikipedia.org

Код для цитирования: Скопировать