XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Функциональный метод решения уравнений и неравенств позволяет сделать более осмысленным их изучение. Свойства функции, геометрические образы необходимо широко использовать при изучении уравнений и неравенств. Решение уравнений и неравенств, отражающееся на функциональный метод, достаточно нетрадиционно и является творческой задачей.

а) Задачи относительно композиции функции.

Задача 1. Если . Найти значение выражения .

Решение. Функция g(x) определена на всей числовой оси: х(-;+).

Напмшем композиции функции , :

, и функции , ,

Тогда

.

Следовательно, значение выражения при x2 равно: .

Задача 2. Дано функция . Найти ,

Решение. Имеем:

А композиции функции f(x)=32x и f(f(x))g(x) пишем в виде:

Задача 3. Пусть . Вычислить значение функции при х4.

Решение. Для функции получим следующью гипотезу:

при n=1: .

при n=2:

при n=3:

…………………………………………………………….

при n:

Эту гипотезу доказываем методом математической индукцией.

При n=1 имеет место . Пусть при n=k гипотеза верна, т.е.

Теперь доказываем, что при случае n=k+1. Действительно, имеем:

Таким образом, гипотеза верна при любом натуральном значении n:

При n=2020

- безконечно убывающая геометрическая прогрессия с знаменателем , ее сумма равна:

Тогда

При x=4

б) Различные методы решение функциональных уравнении и неравенств.

Под функциональным методом решения уравнений и неравенств понимают метод решения, опирающийся на использование свойство функций, входящих в уравнении и неравенство. Изучение роли функционального метода решения уравнений и неравенств является целью этой работы.

Функциональный метод используется:

В обосновании классических методов решения уравнений и неравенств

(теорем равносильности, методов интервалов);

используется для решения задач, которые другими методами решить нельзя;

некоторые задачи можно решить разными способами, но более

рациональным методом является функциональный;

при решении уравнений и неравенств, которые являются математической моделью

других задач: нахождение области определения, множества значений функций, нахождение интервалов монотонности.

Большинство функциональных уравнений могут быть не определены специальной функцией, то есть класса функций, которые обладают обобщенными свойствами. Например, уравнение f(x+1)=f(x) - характеризует класс функций, период которых равен 1, а уравнение f(1+x)=f(1-x) - класс симметричных функций по отношению к прямой x=1. Особое место в теории функциональных уравнений занимают дифференциальные уравнения. Показать некоторые методы решения функциональных уравнений.

Задача 4. Решить уравнение .

Решение. х>5. Рассмотрим функцию . Тогда данное уравнение примет в виде функционального уравнения: .

Так как функция возрастающая, то уравнение

равносильно уравнению , т.е. уравнению =0.

Решая этого уравнения, находим: .

Задача 5. Найти всех непрерывные функций , если .

Решение. Сделаем заменух , тогда:

Так как функция непрерывная, то

Значить, .

Задача 6. Найти всех дифференцируемых функций , если

.

Решение. Пусть х=у=0, тогда , отсюда .

Преобразуя данного уравнение (y=h), получим:

Учитывая, что , находим предел при :

, где

Интегрируем последнего уравнения: , получим:

, бұдан .

Так как , то С₁=0 и

Задача 7. Решить уравнение .

Решение. Выполняем следующие действия:

1) Замена , тогда ,

2) Выражение х подставляем в данному уравнению:

3) Заменяем через :

4) Таким образом получаем два уравнения:

и

5) Умнажая первого уравнения на (-2), сложим на вторую уравнению:

Тогда, получим: Значит, искомая функция есть:

Задача 8. При положительных значении переменных x и y для функции f(x) имеет

место равенство f(xy)f(х)f(у). Если , то найти f(2020).

Решение. По условию f(1·1)f(1)+f(1) или 2f(1)f (1). Значит, f(1)=0. Для всех

положительных х выполняется равенство:

тогда

Следовательно, при x=2020, получим:

Задача 9. При всех рациональных значении x и y функция f(x) удовлетворяет

условию . Известно,что . Найти табыңдар.

Решение. По условиюЗначить, и

Тогда, отсюда

, ал

Задача 10 . Дана функция . Решить неравенство < .

Решение. Так как , то данное неравенство примет вид: < , < 0.

Так как неравенство >0 имеет место при всех действительных значении х, то решение последнего неравенства будет промежуток .

Задача 11. Пусть, . Решить неравенство .

Решение. , тогда .

Если , то неравенство примет вид:

≥1.

Обозначим, что , то t ≥0 и имеем систему неравенств:

Таким образом, обобщенные методы задач относительно функциональной зависимости пока не сформулированы, очевидно, можно отнести функциональные уравнения и неравенства с использованием следующих индивидуальных методов и приемов:

- использовать непрерывность функций, устойчивость, монотонность, периодичность, парно-досоковые свойства;

- нули функции или метод неподвижных т очек;

- дифференциальный метод, метод перехода на предельный;

- метод разницы;

- метод применительно к функционально заданным свойствам неизвестной функции;

- метод математической индукции;

- способность принимать большие или малые значения функции в какой-либо точке;

- метод рекурентных ошибок;

- метод замены переменных или выражений относительно аргумента;

- метод записи функции в виде суммирования четных и нечетных функций.

Известно, что обобщенные методы решения функциональных уравнений, не приводимые в дифференцирование и интеграцию, являются малыми. Функциональные уравнения часто встречаются при решении множества прикладных задач, при составлении расписания занятий, в системе управления ракетами и других практических задачах. Также решение функциональных уравнений и неравенств рекомендуется на Олимпиадах для школьников и студентов. От учащихся требуется во всякой конкретной задаче отвлечься от несущественных деталей и увидеть в ней общее функциональное содержание: найти реальные области изменения величин, выяснить характер их зависимости. Решение таких задач воспитывает:

умение схематизировать;

развивает интуицию;

прививает навыки дедуктивного мышления;

развивает творческие исследовательские способности.

Иначе говоря, способствует развитию математической культуры, играет большую роль для развития личности учащихся. То есть имеет большое педагогическое значение.

Литература

1. Я.И.Груденов Совершенствование методики работы учителя математики» Книга для учащихся. М.: «Просвещение», 1988 г.

2. М.К.Потапов, В.В.Александров, П.И.Пасиченко. Лекции по алгебре и элементарным функциям. Изд. Москва МТУ, 1978 г.

3. Л.М.Фридман, Е.Н. Турецкий. Как научиться решать задачи. - Книга для учащихся старших классов средней школы. М.: «Просвещение», 1987 г.

4. В.А.Гусев, А.Г.Мордович. Математика. Справочные материалы. - Книга для учащихся. М.: «Просвещение», 1990 г.

С.В.Кравцов, Б.Н.Макаров и др. Методы решения задач по алгебре. Экзамен «Оникс 21 век» М.: 2001 г.

Код для цитирования: Скопировать